Massenträgheitsmoment entlang Drehachse?

Hallo liebe Community,

ich muss vom folgenden Quader das Trägheitsmomement berechnen, so , dass die Drehachse der X Achse entspricht. ( siehe Bild) Was genau bedeutet dies, und wie gehe ich da vor? Könnt ihr mir weiterhelfen?

Answer 1

[Najix]

Hi,

ich gehe mal davon aus, dass die Masse in dem Quader gleichmäßig verteilt ist. Dann kannst du den Quader wie gewünscht entlang der x-Achse legen, sodass

$Q=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3\ |\ x\in\left[0,a\right],\ y\in\left[-\frac{b}{2},\frac{b}{2}\right],\ z\in\left[-\frac{c}{2},\frac{c}{2}\right]\right\}$ jetzt kannst du das Trägheitsmoment ausrechnen, indem du die Dichte mit dem Abstand zur x-Achse zum Quadrat multipliziert über Q integrierst:

$I\ =\ \int_0^adx\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}dy\int_{-\frac{c}{2}}^{\frac{c}{2}}dz\ \rho\left(y^2+z^2\right)$ $=\ \rho\cdot a\cdot\left(c\cdot\frac{1}{3}\left(\left(\frac{b}{2}\right)^3-\left(-\frac{b}{2}\right)^3\right)+b\cdot\left(\left(\frac{c}{2}\right)^3-\left(-\frac{c}{2}\right)^3\right)\right)$ $=\ \rho\cdot a\cdot\frac{2}{3}\left(c\cdot\frac{b^3}{8}+b\cdot\frac{c^3}{8}\right)$ $=\rho\cdot a\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{12}\left(b^2+c^2\right)$ $=\frac{1}{12}m\left(b^2+c^2\right)$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Theoretische Physik und Mathematik