Geschlossenes Wegintegral berechnen?

Hallo liebe Community,

ich muss folgendes Integral berechnen( siehe Bild).Ich weiß, dass ich diesen Weg parametrisieren muss, jedoch weiß ich nicht wie das geht und wie man dann anhand dessen das Wegintegral ausrechnet. Könnt ihr mir weiterhelfen?

Answer 1

[Najix]

Hi,

wir parametrisieren den Weg in 3 Abschnitten:

$\gamma_1\left(t\right)=\left(t,0,0\right)$ $\gamma_2\left(t\right)=\left(1,t,0\right)$

$\gamma_3\left(t\right)=\left(1-t,1-t,0\right)$

wobei jeweils t von 0 bis 1 definiert ist.

Dann können wir jeden Abschnitt einzeln integrieren (ich lasse die Vektorpfeile weg, das ist mir zu lästig:

$I_1=\int_{\gamma_1}dr\cdot E\left(r\right)$ $=\int_0^1dt\ \left(\partial_t\gamma_1\left(t\right)\right)\cdot E\left(\gamma_1\left(t\right)\right)$

$=\int_0^1dt\ 0\ =\ 0$

$I_2=\int_{\gamma_2}dr\cdot E\left(r\right)$ $=\int_0^1dt\ \left(\partial_t\gamma_2\left(t\right)\right)\cdot E\left(\gamma_2\left(t\right)\right)$ $=\int_0^1dt\ \left(1+a\cdot t^2\right)\ =\ 1+\frac{1}{3}a$

$I_3=\int_{\gamma_3}dr\cdot E\left(r\right)$ $=\int_0^1dt\ \left(\partial_t\gamma_3\left(t\right)\right)\cdot E\left(\gamma_3\left(t\right)\right)$ $=\int_0^1dt\ \left(-2b\cdot\left(1-t\right)^2-\left(1-t\right)^2\left(1+a\right)\right)$ $=-\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}\left(1+a\right)$

Insgesamt bedeutet das aufsummiert

$I=I_1+I_2+I_3=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}b$ Nun mit dem Satz von Stokes:

Die Rotation von E ist

$\text{rot}\left(E\right)=\left(0,0,2x-2bx\right)$

Die Fläche ist

$F=\left\{\left(x,y,0\right)|y\in\left[0,x\right],x\in\left[0,1\right]\right\}$

und der Normalenvektor zeigt in z-Richtung (Rechte Hand Regel!)

Also ist

$I=\int_FdA\cdot\text{rot}\left(E\right)$ $=\int_0^1dx\int_0^xdy\left(2x-2bx\right)$ $=\int_0^1dx\left(2x^2-2b\cdot x^2\right)$ $=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}b$

Und das ist genau das Ergebnis, was wir oben über den Rand herhalten haben.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Theoretische Physik und Mathematik

Comments

[Najix]

Ups, ich hab überall das C vergessen, also überall wo E ins Spiel kommt noch mit C multiplizieren