Lösung zu Mathe Aufgabe (Abitur 2017)?
Ich lerne gerade für meine Vor-Abi-Klausuren und bin bei der Aufgabe b) hier etwas ratlos. Ich füge unten ein Bild davon an:
(In den Lösungen steht es wären 5,6 Stunden, mehr aber auch nicht also ich wüsste gerne wie man darauf kommt.)
5 Antworten
Jetzt wurde das Bild nicht mit abgeschickt...
Hallo,
die Lösung kann ich nicht nachvollziehen.
z(t) gibt den (unregelmäßigen) Zufluß in Abhängigkeit von der Zeit an, nicht aber den Wasserstand.
Um den Wasserstand nach vier Stunden zu bestimmen, mußt Du integrieren, also die Fläche unter dem Funktionsgraphen bestimmen.
Dazu mußt Du zunächst testen, ob zwischen t=0 und t=4 keine Nullstelle vorhanden ist.
Für die Nullstellenbestimmung klammerst Du t² aus (eine Nullstelle also bei t=0, was klar ist): t²*(t²-12t+36)=0 bzw. t²*(t-6)²=0
Die zweite (doppelte) Nullstelle befindet sich also bei t=6 und interessiert hier nicht weiter.
Z(t)=0,2t^5-3t^4+12t^3
Für t=0 wird dies Null, es reicht also, Z(4) zu bestimmen:
Z(4)=204,8
Da eine Einheit 100 Liter sind, hast Du also nach vier Stunden 20480 Liter im Tank.
Ab t=4 laufen pro Stunde 500 Liter ab und es gilt eine neue Gleichung:
z(t)=t^4-12t^3+36t^2-5t
Z(t)=0,2t^5-3t^4+12t^3-2,5t^2
Dies muß nun von 0 bis 2 integriert werden, um zu bestimmen, wieviel Wasser ab der vierten Stunden hinzukommt.
Wieder reicht es, Z(2) zu bestimmen, da Z(0) Null wird.
Z(2)=44,4, also 4440 Liter.
Nach sechs Stunden sind demnach 20480+4440=24920 Liter im Tank.
Die Frage ist, ob dies der Höchststand ist.
Höchststand nach vier Stunden sind die 20480 Liter, weil die Zuflußmenge ständig im positiven Bereich blieb, sich die Wassermenge sich also stets vermehrte.
Was passiert zwischen Stunde 4 und Stunde 6 bzw. zwischen Stunde 0 und 2 nach Öffnen des Abflusses?
Wir müssen die neue Funktion auf Null setzen:
t^4-12t^3+36t^2-5t=0
Diese neue Funktion hat im Bereich zwischen t=4 und t=6 nur eine Nullstelle, nämlich bei t=5.
Da wir für t=4 einen positiven Wert erhalten, bedeutet dies, daß zwischen Stunde 4 und 5 ständig Wasser hinzukommt, danach wird der Zufluß negativ und es fließt wieder Wasser ab.
Somit müßte die maximale Wassermenge bei t=5 Stunden erreicht sein.
Herzliche Grüße,
Willy
Mit Willibergis Ansatz kommst Du sogar auf die 5,6 Stunden.
Du überlegst, ab wann weniger als 500 Liter Wasser zufließen, also ab wann t^4-12t^3+36t^2=5 ist.
Das ist tatsächlich bei t=5,6 der Fall. Die angegebene Lösung ist demnach korrekt.
Willy
Mein Denkfehler war, daß ich bei der Frage nach dem Maximum genauso vorgegangen bin wie bei der Frage nach dem Wasserstand.
Beides ist aber zu trennen. Der Zulauf von 500 l/h ist konstant und z(t) ist eine Funktion der Zulaufmenge pro Stunde. Ich darf hier also nicht 5*(t-4) abziehen, sondern einfach 5. Diese Zulaufmenge ist zeitunabhängig.
Nochmal:
z(t) ist die Funktion der Zuflußmenge pro Stunde.
In den ersten vier Stunden ist z(t) wie angegeben, also gleich
t^4-12t^3+36t^2
Möchtest Du wissen, wieviel Wasser sich in diesen vier Stunden ansammelt, integrierst Du diese Funktion von 0 bis 4. Da in dieser Zeit kein Wasser abläuft, sondern nur welches dazufließt, ist die Durchflußmenge immer positiv, Du wirst außer bei t=0 in diesem Intervall bis t=4 keine weitere Nullstelle finden (die liegen bei t=0 und t=6 und sind doppelte Nullstellen, also gleichzeitig Extrema (hier: Minima) der Funktion).
Da eine Stammfunktion Z(t)=0,2t^5-3t^4+12t^3 ist und Z(0)=0, reicht es, Z(4) zu bestimmen, um die Wassermenge zu erhalten, die sich in den ersten vier Stunden angesammelt hat.
Das sind 20480 Liter, denn Z(4)=204,8 und die Einheit sind Hektoliter.
Bis dahin war alles richtig, was ich geschrieben hatte.
Dann kam das, was ab der vierten Stunde geschieht: Ein Abflußhahn wird geöffnet, deshalb fließen nun pro Stunde 5 Hektoliter ab.
Diese 5 ist zeitunabhängig. Es sind und bleiben 5 hl pro Stunde, egal, wieviel Zeit seit der vierten Stunde vergangen ist. Ich darf also nicht 5t abziehen, sondern nur 5 und erhalte als neue Funktion z(t):
t^4-12t^3+36t^2-5, die im Intervall zwischen t=4 und t=6 eine Nullstelle bei t=5,6 besitzt. Ab diesem Zeitpunkt fließt mehr Wasser raus als rein, so daß an diesem Zeitpunkt der maximale Wasserstand erreicht ist, denn bis dahin floß immer mehr Wasser zu als ab.
Wenn ich die Wassermenge bestimmen möchte, die zwischen t=4 und t=6 hinzukommt, muß ich diese neue Funktion integrieren und erhalte Z(t)=0,2t^5-3t^4+12t^3-5t
Z(6)-Z(4)=44,4 hl=4440 Liter, die in den letzten beiden Stunden hinzukommen. Hierbei ist bereits die negative Fläche, die ab t=5,6 entsteht, verrechnet, es ist also die Tatsache berücksichtigt, daß in den letzten 24 Minuten der Wasserstand wieder sinkt.
Beim Integrieren werden die 500 Liter, die pro Stunde abfließen, zeitabhängig, weil es nun nicht um die Abflußmenge pro Stunde geht, sondern um die Wassermenge, die in einer bestimmten Zeit abgeflossen ist. Und die ändert sich natürlich ständig. In einer Stunde fließen 500 Liter ab, in zwei Stunden 1000 Liter usw. Konstant ist nur die Abflußrate, während die Zuflußrate eben nicht konstant ist, sondern zeitabhängig schwankt.
Herzliche Grüße,
Willy
Um den Wasserstand nach 6 Stunden zu bestimmen, ist es am einfachsten, von Z(6) in der ursprünglichen Fassung, also
Z(t)=0,2t^5-3t^4+12t^3 am Ende einfach 10 hl abzuziehen, weil in den letzten beiden Stunden 1000 Liter Wasser abgeflossen sind.
Das geht, weil die Abflußrate im Gegensatz zur Zuflußrate konstant ist.
Dann kannst Du Dir das ganze Pipapo mit den unterschiedlichen Funktionen sparen, bzw. brauchst die zweite nur wegen der Nullstelle zwischen t=4 und t=6, um den Zeitpunkt des maximalen Wasserstandes zu ermitteln.
Der Zufluss ist nicht gleichmäßig, sondern unregelmäßig, er wird durch die Funktion z(t) beschrieben.
Nach 4 Stunden fließen 500 Liter pro Stunde wieder ab (während aber weiter Wasser gemäß z(t) zufließt!).
Jetzt sollst du berechnen, wann am meisten Wasser im Tank ist. Bis zum Zeitpunkt t = 4 kannst du den Wasserstand mit z(t) bestimmen, ab dann musst du den Abfluss mit einbeziehen.
Wie viel ist im Tank, wenn er anfängt abzufließen? Wie viel fließt dann noch zu? Ab wann wird es weniger Wasser bzw. anders gesagt ab wann ist der Zufluss kleiner als der Abfluss, also kleiner als 500 l/h?
Hallo,
Du kannst über z(t) eben nicht die Wassermenge bestimmen, die sich angesammelt hat, sondern nur die momentane Zuflußrate.
Den Wasserstand bestimmst Du über die Fläche unter dem Graphen im genannten Intervall, mußt also integrieren.
Dabei gilt ab t=4 z(t)-5 und Z(t)-5t
Herzliche Grüße,
Willy
Soweit wie ich die Aufgabe b verstehe, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen. Zum einen der Funktion die schon gegeben ist ( für die ersten 4 Stunden) und dann musst du diese noch ändern, sodass der Abfluss mit einberechnet wird und davon die Nullstellen berechnen.
Das Maximum/Minimum einer Funktion f(x) bestimmt man in dem man die Ableitung der Funktion bildet f'(x) und die Nullstellen bestimmt. Die Funktion die gegeben ist, ist schon die Ableitung der Funktion f(x) die den Wasserstand angibt.
Bei a) keine Ahnung, aber bei b) leitest Du eindfach ab. Tu so, als ob z(t) f(x) wäre und als ob t x wäre. Ist genau das Selbe. Z'(t) = 0 setzen, evtl Maximum bestimmen und fertig.
absolut richtig, sorry, schlecht formuliert, der (wird ja glaube ich in der a) ermittelt) muss natürlich mit rein! Also die Ableitung der fertigen Funktion aus a) wird benötigt.
Wenn ich nochmal darüber nachdenke, muß man den Wasserstand zwischen Stunde 4 und 6 doch etwas anders bestimmen, da die Zuflußmenge von t abhängig ist und z(4) nicht gleich z (0) ist, auch nicht bei der neuen Funktion ab Stunde 4.
Dann darfst Du aber nicht 5t subtrahieren, weil die 500 Liter ja nur in den beiden letzten Stunden ablaufen, sondern wir subtrahieren
5*(t-4).
Bei der Wassermenge in den ersten vier Stunden bleibt es - daran ändert sich nichts.
Um die Wassermenge während der letzten beiden Stunden zu bestimmen, integrieren wir t^4-12t^3+36t^2-5t+20 von 4 bis 6.
Wir können in diesem Fall durchintegrieren, weil negative Flächen auf jeden Fall mit positiven verrechnet werden müssen, denn wenn mehr Wasser abfließt als zufließt, geht das schließlich auch in die Gesamtmenge ein.
Als Gesamtmenge bekomme ich 4440 Liter heraus - es hat sich also auch hier nichts geändert.
Allerdings muß die Nullstelle anhand der geänderten Funktion neu bestimmt werden
Im Intervall zwischen t=4 und t=6 liegt nur eine Nullstelle, nämlich bei t=5,5, davor verläuft der Graph oberhalb der x-Achse.
Der maximale Wasserstand müßte dann nach 5,5 Stunden erreicht sein, danach sinkt er wieder, weil mehr Wasser abfließt als hinzukommt.
Willy