Konstante C beim Integrieren!?
Hi
Eine kurze Frage: Ab wann, muss ich beim Integrieren die Kostante c beachten. Ich komme immer durcheinander. Mal soll der Flächeninhalt z.B. zw. Graph und x-Achse berechnet werden und die gegebene Funktion f wird dazu einfach nur integriert (ohne c zu berücksichtigen. Ein anderes Mal geschieht das Gleiche, aber c wird mit eingebracht.
Woran erkenne ich das c berücksichtigt werden muss bzw. wann bringe ich c mit ein?
Danke an alle!
5 Antworten
Im Prinzip immer, jedoch bei einem Bestimmten Integral fällt sie weg, da Du ja in das Integral mit Obergrenze-Untergrenze einsetzt, wobei C - C bei der Subtraktion 0 ergibt.
Zwar gilt zunächst die Regel:
C wichtig: beim unbestimmten Integral
C unwichtig: beim bestimmten Integral, weil sich c durch die Differenz herauskürzt
ABER es gibt auch Sprünge in Funktionen, mehrmalige Integration hintereinander oder Anfangszustände, wo C wichtig wird.
Integrationskonstanten müssen in der Wissenschaft immer dann beachtet werden, wenn es einen Anfangszustand ungleich 0 gibt:
Die Geschschwindigkeit kann z.B. aus der Beschleunigung berechnet werden:
v(t) = Integral a(t) dt von t=0...t2
wenn a=konst wird daraus: v(t) = a * Integral t dt {0...t) = a * t + v0
hier wird aus C = v0=Anfangsgeschwindigkeit (gleiche Dimension und Einheit), die man nicht einfach vernachlässigen darf.
Spätestens beim nochmaligen Integrieren (z.B. um den Weg zu bestimmen) sieht man die Wichtigkeit der beiden Anfangszustände:
s(t) = Integral v(t) dt = Integral (a * t + v0) dt = a/2 * t² + v0 * t + s0
mit s0=Anfangsweg (2. Integrationskonstante)
mit C: beim unbestimmten Integral
ohne C: beim bestimmten Integral
beim Berechnen von Flächeninhalten brauchst du sie nie, denn sie würde sich in der Rechnung von selbst herauskürzen da sie bei oberer Intervallgrenze reingerechnet und bei minus unterer Intervallgrenze wieder abgezogen würde.
Sie ist eigentlich in der Praxis nur pro Forma da, um zu zeigen, dass eine stammfunktion eben noch unendlich viele unterschiedliche Absolutglieder haben kann, also unterschiedliche einzeln stehende zahlen, die anders rum beim Differenzieren rausfallen und daher in der Aufleitung (Integration) nicht bestimmt werden können
Jetzt wird mir einiges klar:
D.h. wenn eine Funktion beispielsweise eine Nullstelle bei 3 hat und ich die Fläche im Intervall [3; 7] berechnen soll, dann berechne ich ja A von [0; 7] (egal, ob A teilweise im pos. und teilweise im neg. Berecih liegt) und ziehe davon A von [0; 3] ab.
Und wenn ich jetzt inegriere würde ja eine Kostante z. B. 5 durch das Minus rausfallen. 5 - 5 = 0
Danke!
Das Rechenpraktische (C fällt bei der Berechnung von Flächen sowieso weg) ist schon geschrieben. Eine Bemerkung zur begrifflichen Einordnung:
Ein unbestimmtes Integral ist keine Funktion, sondern eine (ganze) Funktionenschar, die als Menge aus unendlich vielen Funktionen besteht; diese unterscheiden sich paarweise genau durch den Wert der Konstante.
Ein unbestimmtes Integral ist die Menge genau der Funktionen, deren Ableitung die Integrandenfunktion ergibt, also aller Stammfunktionen. Jedes unbestimmte Integral (auch) der Schreibweise nach eine Anwendung des Hauptsatzes des Differenzial- und Integralrechnung.
sauber