Kombinatorik Gruppenaufgabe?
Ich wollte ich euch fragen, wie man bei folgender Aufgabe auf die Lösung 14!/(3!*3!*2!*2!*2!*2!) * 1/(2!*4!) kommt.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 14 Personen in 6 Gruppen aufzuteilen, von denen 2 je 3 Personen und die restlichen 4 je 2 Personen enthalten?"
Der Teil mit "14!/(3!*3!*2!*2!*2!*2!)" ist klar, aber wie kommt man auf "* 1/(2!*4!)"?
Ist meine Annahme korrekt, das mit dem "zweiten" Teil die Möglichkeiten der Andordnung der einzelnen Gruppen aufgehoben wird?
Ich danke für eine Rückmeldung :)
1 Antwort
Du hast das Prinzip schon richtig erfasst. Der erste Teil, also 14!/3! ⋅ 3! ⋅ 2! ⋅2! ⋅ 2! ⋅ 2!, gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, die 14 Personen auf die 6 Gruppen aufzuteilen, ohne dabei die Reihenfolge der Gruppen zu beachten.
Jetzt haben wir aber das Problem, dass die Gruppen ja vertauschbar sind. Die zwei Dreiergruppen sind untereinander austauschbar und die vier Zweiergruppen ebenfalls. Das heißt, jede Anordnung, die wir vorher gezählt haben, zählt jetzt mehrfach, weil wir die gleichen Gruppen in verschiedener Reihenfolge haben können.
Um das zu korrigieren, teilst du durch die Anzahl der Vertauschungen, die möglich sind. Für die zwei Dreiergruppen ist das 2!, weil du zwei Gruppen auf zwei Arten anordnen kannst. Für die vier Zweiergruppen ist es 4!, weil du vier Gruppen auf vier Fakultät Arten anordnen kannst.
Also ist der zweite Teil des Bruchs, 1/2! ⋅ 4!, genau dafür da, diese Überzählungen zu eliminieren. Wenn du das alles zusammenrechnest, bekommst du die Anzahl der einzigartigen Möglichkeiten, die 14 Personen auf die 6 Gruppen aufzuteilen.
So ist es, wenn die gleich großen Gruppen ununterscheidbar sind.
Wenn es sich natürlich um die Gruppen A bis F handelt und A und B etwa aus drei Personen, C bis F aus je zwei Personen bestehen und es nicht egal ist, ob zwei Personen in Gruppe C oder E landen (unterschiedliche Räume), dann dürfte nicht durch 2!*4! geteilt werden.
Genau dies ist aber in der Aufgabe nicht ausdrücklich gesagt, sondern geht erst aus der Lösung hervor.
Ein bißchen schlampig gestellt meiner Meinung nach.