Frage von Lalelulalellal, 27

Könnte mir erklären warum der Mittelwert aller Abweichungen vom Mittelwert immer null ist?

Antwort
von kreisfoermig, 2

Ansatz 1. Mit Erwartungswert: Die Funktion 𝔼[·] ist linear und es gilt 𝔼[c] = c für eine jede Konstante c. Darum gilt

𝔼[X–𝔼[X]] = 𝔼[X–c], mit c:=𝔼[X]
= 𝔼[X] – 𝔼[c] … wegen Linearität
= 𝔼[X] – c … da c eine Konstante ist
= 𝔼[X] – 𝔼[X] (Def. c:=𝔼[X])
= 0.

Ansatz 2. Mit Mittelwerten. Es seien X⁽¹⁾, X⁽²⁾, …, X⁽ⁿ⁾ Zufallsvariable. Dann gilt

mean(X–mean(X)) = ∑ (X⁽ⁱ⁾–mean(X)) / n
= ∑ X⁽ⁱ⁾/n – ∑ mean(X) / n
= mean(X) – n·mean(X) / n
per Definition von mean(·)
und da ∑ mean(X) die n-fache Summe
aus einer Konstanten ist
= mean(x) – mean(X)
= 0.

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