Kinetische Energie abgeleitet?
Ich habe mich gefragt was die Ableitung der Kinetischen Energie aussagt. Danke
4 Antworten
Das kommt ganz drauf an, wonach man ableitet. Dementsprechend haben die Ableitungen auch verschiedene Bedeutungen.
1. Kurve: y-Achse = E; x-Achse = m
E = f(m) = v^2/2 * m = k * m mit k = konstant = v^2/2
E' = f'(m) = k
Interpretation:
E' ist die Änderung der Energie in Abhängigkeit der Änderung der Masse. E' gibt die Steigung der Kurve f(m) = v^2/2 * m an und die Steigung ist konstant. Die Kurve selber ist daher eine Gerade.
Der Zusammenhang zwischen Ekin und der Masse ist linear.
2. Kurve: y-Achse = E; x-Achse = v
E = f(v) = m/2 * v^2
E' = f'(v) = m * v
Interpretation:
E' ist die Änderung der Energie in Abhängigkeit der Änderung der Geschwindigkeit. E' gibt die Steigung der Kurve f(v) = m/2 * v^2 an.
m * v ist der Impuls.
Die Steigung der Kurve f(v) = m/2 * v^2, also die erste Ableitung, gibt den jeweiligen Impuls bei einer bestimmten Geschwindigkeit an.
3. Kurve: y-Achse = E; x-Achse = t
E = f(t) = m/2 * v^2 = a^2 * m /2 * t^2 mit v = a * t
E = f(t) = a^2 * m /2 * t^2 = k * t^2 mit k = a^2 * m /2
E' = f'(t) = k * t
Interpretation:
E' ist die Änderung der Energie in Abhängigkeit der Änderung Zeit. Änderung der Energie ist nach Energieerhaltungssatz = geleisteter Arbeit.
Gelesitete Arbeit pro Zeit ist die Leistung.
E' gibt die Steigung der Kurve f(t) = a^2 * m /2 * t^2 an.
Die Steigung der Kurve f(t) = a^2 * m /2 * t^2, also die erste Ableitung, gibt die erforderliche Leistung an, die erforderlich ist, um die Beschleunigung konstant (Annahme!!) zu halten. Diese erforderliche Leistung nimmt linear mit der Zeit zu. Je länger man konstant beschleunigen will, umso mehr Leistung ist dafür erforderlich.
Klassisch kann man die kinetische Energie sowohl als "p²/2m" als auch durch "1/2 mv²" darstellen.
Leite das erste nach p ab, dann kommt p/m heraus. Das entspricht v.
Leite das zweite nach v ab, dann kommt m*v heraus. Das entspricht p.
Damit ist man bei den Hamilton'schen Bewegungsgleichungen angekommen.
Die kinetische Energie, mit E_k = 1/2 * m * v**2
hat die beiden Variablen m und v.
Du kannst das totale Differential dE_k bilden . Dieses ist:
dE_K = DE_k / Dv * dv + DE_k/Dm * dm
und damit hast du die Abhängigkeiten von v und m
(die "D" sollen eigentlich rund sein, kann ich aber auf der Tastatur nicht herstellen).
Nehme z.B. eine startende Rakete: die Geschwindigkeit nimmt zu und die Masse nimmt wegen Treibstoffverbrauchs ab.
Setzt du in dieses Beispiel die Gleichungen ein, werden diese einen Geschwindigkeitsverlauf in Abhängigkeit der Zeit liefern. Gleiches gilt für die Massenveränderung. Damit wirst du ein E_k(t) kriegen.... und damit wird das totale Differntial eine zeitliche Abhängigkeit erhalten.
Das kommt darauf an, wonach du ableitest.
Wenn du nach der Zeit ableitest, hast du die zeitliche Änderungsrate der kinetischen Energie. Wenn du nach dem Ort ableitest, hast du die räumliche Änderungsrate der Energie, usw.
Lässt sich daraus eine Freundschaft ableiten? Ich glaube durch die rasche Impulsänderung ist sie nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar.....
Genau! Und wenn man seinem Gegenüber eine scheuert, dann hat man die Änderungsrate der Freundschaft in Relation zu verwendeten kinetischen Energie. %)