Kartesische Koordinaten aus Kugelkoordinaten?

Hallo, ich komme leider nicht weiter bei Teil b). Die -5 ist allerdings richtig. Vielen Dank im Voraus

Answer 1

[mihisu]

Zunächst einmal kann man sich überlegen, dass die in kartesischen Koordinaten gegebene Stelle

$\mathbf{x}_0=\left(0, -5, 0\right)$

die Kugelkoordinaten

$r=5,\quad \varphi=-\frac{\pi}{2},\quad\vartheta=\frac{\pi}{2}$

hat. Damit erhält man dann...

$\vec{F}\left(\mathbf{x}_0\right)=\left(4+\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)\cdot\vec{e}_r+3\cdot 5\cdot \vec{e}_\varphi+5\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\vec{e}_\vartheta$

$\rightarrow\quad \vec{F}\left(\mathbf{x}_0\right)=\left(4+\left(-1\right)\right)\cdot\vec{e}_r+15\cdot \vec{e}_\varphi+5\cdot 1\cdot\vec{e}_\vartheta$

$\rightarrow\quad \vec{F}\left(\mathbf{x}_0\right)=3\cdot\vec{e}_r+15\cdot \vec{e}_\varphi+5\cdot\vec{e}_\vartheta$

So weit bist du ja anscheinend auch gekommen.

Nun ist allgemein für die Transformation der Basisvektoren der lokalen Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten...

$\vec{e}_r=\begin{pmatrix}\sin\left(\vartheta\right)\cdot\cos\left(\varphi\right)\\\sin\left(\vartheta\right)\cdot\sin\left(\varphi\right)\\\cos\left(\vartheta\right)\end{pmatrix}$

$\vec{e}_\vartheta=\begin{pmatrix}\cos\left(\vartheta\right)\cdot\cos\left(\varphi\right)\\\cos\left(\vartheta\right)\cdot\sin\left(\varphi\right)\\-\sin\left(\vartheta\right)\end{pmatrix}$

$\vec{e}_\varphi=\begin{pmatrix}-\sin\left(\varphi\right)\\\cos\left(\varphi\right)\\0\end{pmatrix}$

[Siehe beispielsweise auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Transformation_der_Vektorraumbasis]

Im konkreten Fall erhält man an der Stelle x₀ mit r = 5 und φ = -π/2 und ϑ = π/2...

$\vec{e}_r=\begin{pmatrix}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot 0\\1\cdot\left(-1\right)\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}$

$\vec{e}_\vartheta=\begin{pmatrix}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 0\\0\cdot\left(-1\right)\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$

$\vec{e}_\varphi=\begin{pmatrix}-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\left(-1\right)\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

Damit erhält man dann...

$\vec{F}\left(\mathbf{x}_0\right)=3\cdot\vec{e}_r+15\cdot \vec{e}_\varphi+5\cdot\vec{e}_\vartheta$

$\rightarrow\quad \vec{F}\left(\mathbf{x}_0\right)=3\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+15\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+5\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$

$\rightarrow\quad \vec{F}\left(\mathbf{x}_0\right)=\begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}15\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\-5\end{pmatrix}$

$\rightarrow\quad \vec{F}\left(\mathbf{x}_0\right)=\begin{pmatrix}15\\-3\\-5\end{pmatrix}$

Comments

[ari1112]

Dankeschön 🫶