kantenlängen berechnen und nur oberfläche gegeben!
bei einem quader. wie macht man das?
5 Antworten
Der Oberflächeninhalt O eines allgemeinen Quaders mit den Kantenlängen L, B und H ist:
O = 2 * ( L * B + L * H + B * H )
Diese Formel kann man umformen, z.B. nach L:
L = ( ( O / 2 ) - B * H ) / ( B + H )
Du erkennst, dass du neben dem Oberflächeninhalt noch weitere Angaben brauchst, um den Wert von L eindeutig bestimmen zu können. Diese Angaben müssen solche Aussagen sein, aus denen sich die Werte von B und H ergeben. Erst wenn du die Werte von B und H kennst, kannst du mithilfe obiger Formel den Wert von L eindeutig ausrechnen.
Eine solche Angabe könnte etwa sein, dass der Quader eine quadratische Grundfläche haben soll. Das würde bedeuten, dass zwei der drei Längen gleich sind, dass also etwa
B = H
gilt.
Das würde zu folgender einfacherer Formel führen (Ersetzen von B durch H):
L = ( ( O / 2 ) - H * H ) / ( H + H )
= ( ( O / 2 ) - H ² ) / ( 2 * H )
Aber auch mit dieser Formel kannst du den Wert von L nicht eindeutig bestimmen, da der Wert von H immer noch unbekannt ist.
Wenn nun noch weiteres bekannt ist, etwa, dass gelten soll
L = 2 * H
dann ergibt sich durch entsprechende Ersetzung
2 * H = ( ( O / 2 ) - H ² ) / ( 2 * H )
äq. 4 H ² + H ² = O / 2
äq. 5 H ² = O / 2
äq. H ² = O / 10
äq. H = Wurzel ( O / 10 )
und wenn man dies in die Gleichungen zu den zusätzlchen Angaben einsetzt, erhält man die Längen der übrigen Kanten:
L = 2 * H = 2 * Wurzel ( O / 10 )
und
B = H = Wurzel ( O / 10 )
.
Mit den beiden zusätzlichen Angaben lassen sich dann also die Kantenlängen des Quaders aus der Oberfläche eindeutig berechnen. Aber eben nicht NUR aus der Oberfläche! Es sind 2 weitere, also insgesamt 3 Aussagen erforderlich, um die drei Kantenlängen zu bestimmen - so wie man es bei drei Unbekannten eben auch erwarten würde.
Wenn nur die Oberfläche gegeben ist, gibt es kein eindeutiges Ergebnis. Der Quader hat drei Kantenlängen a,b und c ("Länge, Breite, Höhe"), die Formel für die Oberfläche ist:
O = 2(ab + ac + bc)
Das ist nur eine Gleichung, aber mit drei Unbekannten. Das geht nicht eindeutig zu lösen.
Wenn wirklich nur die Oberfläche gegeben ist, dann ist es garnicht möglich. Wenn der Quader aber ein Würfel ist, dann musst du die Qurzel aus der Oberfläche ziehen.
Hallo was muss man machen um die kantenlänge herauszufinden wenn nur die Diagonale und die mantelfläche gegeben ist!?
beim Würfel O=6a² und a² = O/6 und daraus dann wurzel ziehen.
wenn schon dann 3. Wurzel!