Frage von whocarse, 54

Kann mit jemand bei dieser Mathe Aufgabe helfen?

Wir haben heute Zerfalls-und Wachstumsprozesse angefangen und irgendwie Blicke ich da noch richtig durch... vielleicht ist ja jemand so nett und kann mir das kurz erklären ☺ Die Frage lautet: "Ein radioaktiver Stoff verliert in jeder Minute 2 % seiner Masse durch Strahlung. Zu Beginn waren 75 mg vorhanden. A: Wie viele Mg sind nach 20 min. noch vorhanden ? B: Nach welcher Zeit ist die Hälfte zerstrahlt?

Danke im Voraus :-)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von mysunrise, 30

m(x) = Anfangsmasse * Wachstumsfaktor^x ; x ist die Minutenanzahl

m(20) = 75mg * 0,98^20min = 50, 07 mg

37,5 mg = 75 mg * 0,98^x    /: 75 mg

0,5 = 0,98^x

-> log0,98(0,5) (habe gerade keinen Taschenrechner, deswegen musst Du es selbst berechnen...)

Kommentar von whocarse ,

ah achso vielen Dank!!

Kommentar von mysunrise ,

Gerne ;D Hast Du noch Fragen dazu?

Kommentar von whocarse ,

Ne hab es jetzt verstanden :-)

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 16

Die Formulierung in der Aufgabenstellung ist an sich behämmert, weil beim radioaktiven Zerfall nicht die Masse verloren geht - nur der Anteil, der als Energie freigesetzt wird, nach Einsteins berühmter Formel E=mc² - sondern ein Stoff sich in einen anderen umwandelt, dessen Masse dabei natürlich zunimmt. Aber es ist natürlich klar, was gemeint ist.

Radioaktiver Zerfall ist ein exponentieller Prozess, d.h. in gleichen Zeiten verringert sich die Menge (so sie nicht durch einen anderen Zerfall "nachgeliefert wird") um denselben Faktor.

Wenn sie sich in einer Minute auf 0,98 (98%) des ursprünglichen Wertes verringert, so verringert sie sich in der nächsten auf 98% von diesen 98%, also auf

0,98·0,98 = 0,98² = (1–2E-2)²=1–4E-2+1E-4 = 0,9604

usw., d.h. nach der 20. Minute ist noch ein Anteil von 0,98^{20} der ursprünglichen Menge vorhanden. Den Rest macht im Idealfall der TR.

Um die Halbwertszeit zu errechnen, muss man die Frage

0,98^{wieviel?} = 0,5

beantworten, und dabei hilft der Logarithmus. Nun wird man einen "Logarithmus zur Basis 0,98" nicht auf dem TR finden, aber Logarithmen zu verschiedenen Basen stehen in einem recht einfachen Verhältnis zueinander und zum natürlichen Logarithmus (ln(x)), nämlich

log_{a}(x) = ln(x)/ln(a) für ein gesuchtes a, in diesem Fall 0,98. Hier ist natürlich x = 0,5.

Kommentar von whocarse ,

ja das stimmt aber man weiß ja was gemeint ist:-) achso okay vielen Dank!! :-)

Kommentar von SlowPhil ,

Man weiß, was gemeint ist, wenn man weiß, dass natürlich die Masse des Zerfallsproduktes nicht mehr mitgerechnet wird, weil sie nicht dem Zerfallsedukt (damit meine ich den ursprünglichen Stoff) nicht mehr zuzuordnen ist.

Antwort
von Elfi96, 15

Zu A) 

Nach meiner Rechnung  beträgt der Wert nach 20 Minuten noch 50,07 mg.

Zu B) 

Nach 36 Minuten hat die Masse noch 37,73mg.

LG 

Kommentar von whocarse ,

Dankeschön habe ich auch raus :-)

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