Kann man sich eine Funktion R^2 -> R im Koordinatensystem vorstellen?
R nach R^2 kann ich
5 Antworten
Eine Funktion f: ℝ² → ℝ kann man sich graphisch in etwa so vorstellen:
Jeder Stelle in der x-y-Ebene wird eine Höhe z = f(x, y) zugeordnet.
Wenn die Funktion stetig ist, entsteht so anschaulich eine Fläche im dreidimensionalen Raum. Für f(x, y) = 2^(y - x²) erhält man beispielsweise anschaulich sowas...
Hier wird beispielsweise der Stelle (x, y) = (0, 0) die Höhe f(0, 0) = 2^(0 - 0²) = 2^0 = 1 als z-Koordinate zugeordnet, weshalb der Punkt (x, y, z) = (0, 0, 1) auf dem Graphen der Funktion liegt.
======Ergänzung======
Ansonsten könnte man sich das alternativ auch so vorstellen:
Jeder Stelle (x, y) wird ein Funktionwert f(x, y) zugeordnet, der mit einem Farbwert oder Grauwert identifiziert werden kann. (Beispielsweise: Je größer der Funktionswert ist, desto dunkler wird die Stelle eingefärbt.)
Für f(x, y) = 2^(y - x^2) könnte dass dann beispielsweise so aussehen:
Naja. Was meinst du denn mit „Bild“? Die Bildmenge der Funktion?
Die Bildmenge ist eindimensional, ja. Aber die Bildmenge beschreibt meiner Ansicht nach nicht ausreichend die Funktion. Besser ist es hier, wenn man sich den Graphen vorstellt, und der Graph ist hier 3-dimensional (wegen 2 + 1 = 3).
Ergänzung: Eigentlich ist der Graph nicht 3-dimensional. Wenn man es genau nimmt, ist im Beispiel der Graph eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, die im 3-dimensionalen Raum lebt. Von daher würde man evtl. sagen, dass der Graph hier 2-dimensional (anschaulich eine 2-dimensionale Fläche) ist.
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Gegenfrage:
Wie würdest du dir die Funktion f: ℝ → ℝ mit f(x) = x² graphisch vorstellen?
Da würden die meisten Leute (auch weil das von der Schulmathematik her verbreitet ist) sich den Graphen im 2-dimensionalen Raum vorstellen, was anschaulich eine Parabel ist.
Ich vermute, dass sich kaum jemand das dann direkt mit der eindimensionalen Bildmenge f(ℝ) = {f(x) | x ∈ ℝ} vorstellen würde, was im konkreten Fall dann die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen wäre. (Man könnte das aber natürlich tun. Beispielsweise könnte man sich das so vorstellen, dass x eine Zeit ist und f(x) eine Stelle auf dem eindimensionalen Zahlenstrahl ist. Dann könnte man sich f so vorstellen, das sich ein Punkt entsprechend entlang des Zahlenstrahls bewegt, der dann im konkreten Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vollführt.)
wie würde der graph bspw aussehen, wenn f' != 0 für alle x Element R^2? So wie ne schiefe ebene nach oben? oder müssen überall unterschiedliche punkte sein
Wenn f′ an jeder Stelle ungleich dem Nullvektor sein soll, bedeutet das anschaulich, dass es keine „Flachstellen“ gibt, an denen der Graph in jeder Richtung horizontal abflacht, sodass also an keiner Stelle die Tangentialebene parallel zur x-y-Ebene ist. Bzw. kann man das auch so sehen: Der Graph hat dann keine Extrempunkte und keine Sattelpunkte.
Der Graph muss dann nicht unbedingt eine „schiefe Ebene“ sein. Der Graph muss dann nicht unbedingt eine Ebene sein. Bei dem Beispiel in meiner Antwort [mit f(x, y) = 2^(y-x²)] ist diese Beding beispielsweise auch erfüllt. Aber offensichtlich ist bei meinem Beispiel der Graph keine schiefe Ebene.
Du kannst es dir im dreidimensionalen vorstellen. Die ersten beiden Koordinaten legen die Argumente der Funktion fest, die dritte Koordinate den Funktionswert.
Ja.
Zum Beispiel das Skalarprodukt, nimmt zwei Zahlen und macht eine draus.
Die Graphen bei Wolfram haben mich schon immer fasziniert
ergibt eine Decke in an vier Pfosten hängt
.
also sieht das bild dreidimensional obwohl es eigentlich eindimensional ist