kann jemandem bitte mir bei diese Mathematik frage helfen?
Ein Unternehmen arbeitet in der kommenden Periode für sein wichtigstes Gut zu Planungszwecken mit der folgenden Kostenfunktion:
𝐾(𝑥) = 𝑥(hoch3) − 15𝑥(hoch2) + 300𝑥 + 600 , 𝑥 ∈ [0,20]
Dabei sei 𝑥 die Produktions- und Absatzmenge. Der Marktpreis pro Mengeneinheit des Gutes schwankt und wird im Folgenden 𝑝𝑝 > 0 bezeichnet. Am Markt können in der kommenden Periode maximal 30 Mengeneinheiten des Gutes abgesetzt werden, aufgrund eines Vertrages mit einem Großkunden müssen aber mindestens 7 Mengeneinheiten produziert werden. Ferner wird aufgrund von Beobachtungen in der Vergangenheit angenommen, dass der Marktpreis pro Mengeneinheit mindestens 255 Geldeinheiten und maximal 270 Geleinheiten beträgt.
a) Ein Mitarbeiter hat Zweifel, dass es sich um eine sinnvolle Kostenfunktion handelt. Zeigen Sie, dass die Kostenfunktion monoton steigend ist und nur positive Werte annimmt, so dass die Zweifel des Mitarbeiters unbegründet sind.
b) Stellen die Deckungsbeitragsfunktion auf. Geben Sie dabei auch den Definitionsbereich an.
c) Bestimmen Sie die Tangente an die Deckungsbeitragsfunktion an der Stelle 𝑥0 = 7,5.
d) Bestimmen Sie die Produktions- und Absatzmenge mit dem maximalen Deckungsbeitrag.
e) Zeigen Sie, dass die Produktions- und Absatzmenge mit dem maximalen Stück-Deckungsbeitrag (=Deckungsbeitrag pro Mengeneinheit) nicht vom Marktpreis 𝑝𝑝 abhängt.
1 Antwort
a) 1 Ableitung bilden und dann zeigen das für kein x ein negativer Wert existiert (zum Beispiel grafisch oder durch eine Wertetabelle). Eine weitere Begründung könnte darin liegen dass es sich bei der abgeleiteten funktion um eine Parabel hält die nach oben geöffnet ist und deren Scheitelpunkt über der x Achse liegt --> es kann keine negativen Werte geben.
b) Aus den gegebenen Eigenschaften der deckungsbeitragsfunktion d von x kannst du die Funktionsgleichung ermitteln.
c) 1. Ableitung bilden und für x den Wert 7,5 einsetzen dann hast du den Tagentenanstieg. Dann setzt du den Wert 7,5 in d von x ein und bekommst einen y Wert. Anschließend setzt du alle Werte in die Formel y=mx+n ein und stellst nach n um. dann hast du alle Werte für eine Tagentengleichung.
Zur überprüfung ob du richtig gerechnet hast kannst du auch nochmal den Schnittpunkt (hier Berührpunkt) zwischen Tangente und Deckungsbeitragsfunktion berechnen und der muss bei x=7,5 liegen.
d) Falls gtr zu gelassen max berechnen lassen und x wert notieren und diesen in d von x einsetzen ansonsten die nullstelle der ersten Abl von d von x berechnen. 2 Ableitung bilden die Extrempunktsverdachtstelle einsetzen. Ist der Wert positiv dann hast du bei der Stelle nen Min. ist er negativ dann ein Max.
Den x Wert des Max von d von x in k von x einsetzen.
Schön geholfen, ohne Ergebnisse vorwegzunehmen.
Zu a) Man könnte auch zeigen, dass die Parabel K'(x) keine Nullstellen hat und mindestens ein Wert > 0 ist.