Kann ich an ein Ziel gelangen, wenn ich sich die zurückgelegte strecke mit jedem Schritt halbiert?

Angenommen ich würde 100 Meter laufen, der erste Schritt ist 1 Meter, der 2. 0,5 Meter, der 3. 0,25 Meter usw. Könnte ich mein Ziel jemals erreichen?

Answer 1

[mihisu]

Nein, du kommst dann nicht einmal 2 m weit.

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Wenn du mit dem ersten Schritt 1 m, mit dem zweiten Schritt 0,5 m, etc. [jeweils vorige Schrittlänge halbiert] läufst, also die beim k-ten Schritt zurückgelegte Wegstrecke

$a_k=\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\cdot 1\,\text{m}$

ist, so erhält man für den insgesamt zurückgelegten Weg nach n Schritten...

$s_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\cdot 1\,\text{m}$

$s_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\cdot 1\,\text{m}$

[geometrische Summenformel]

$s_n=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1-\frac{1}{2}}\cdot 1\,\text{m}$

$s_n=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{\frac{1}{2}}\cdot 1\,\text{m}$

$s_n=\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)\cdot 2\,\text{m}$

Im Grenzwert für n → ∞ erhält man...

$s_\infty =\lim\limits_{n\to \infty}\underbrace{(1-\overbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}^{\to 0})}_{\to 1}\cdot 2\,\text{m}=2\,\text{m}$

Ergebnis: Die zurückgelegte Wegstrecke nähert sich 2 m an, was deutlich weniger als 100 m ist.

Answer 2

[Maxi170703]

Das ist dann äquivalent zur Reihe n = 0 bis Unendlich (1/2)^n und die konvergiert bekanntlich gegen 2.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Maschinenbaustudent, RWTH Aachen