Kanguru Wettbewerb Klassenstufe 9/10? Aufgabe C9?
Im Endpunkt A des Durchmessers AB eines Halbkreises startend verläuft eine Zickzacklinie zum Bogen des Halbkreises und wieder zum Durchmesser zurück. Nach vier Ausschlägen endet die Zickzacklinie genau im Punkt B. Wenn alle grau markierten Winkel gleich groß wären, wie groß wären diese dann?
(A) 60 (B) 72 (C) 75 (D) 80 (E) 82,5
4 Antworten
Hier ein Weg ohne Taschenrechner, welcher bei diesem Wettbewerb nicht erlaubt ist:
Durch ein bisschen Rumprobieren kann man darauf kommen, dass sich aus den Spitzen der 4 Dreiecke der Linie und den Punkten A und B ein halbes regelmäßiges 10-Eck in dem Halbkreis aufspannt:
Also ist:
α = 180° / 5 = 36°
woraus sich der gesuchte Winkel β ergibt (gleichschenkliges Dreieck):
β = (180 - α ) / 2 = 72°
Skizze
Wegen der Symmetrie ist es hinreichend, einen Viertelkreis zu betrachten. Da die Winkel unabhängig vom Maßstab sind, wird r = 1 gesetzt.
Für x können 2 Gleichungen aufgestellt werden.
Dreieck DEC
(1) ((r/2) - cos(α))² + (x² * sin²(α) = x²
Dreieck ABC
(2) x = 2 * r * sin((180° - 2 * α) / 2) = 2 * sin(90° - α) für r = 1
------------------------------------------------
(1) x = ((1/2) - cos(α)) / cos(α)
(2) x = 2 * sin(90° - α)
--------------------------------------------------
((1/2) - cos(α)) / cos(α) = 2 * sin(90° - α)
α = 72°
wenn alle winkel gleich sind, heißt das dass wir hier 4 gleichseitige Dreiecke haben die zueinander ähnlich sind.
Seien b1 bis b4 die breiten der dreiecke.
dann gibt es faktoren k2,k3,k4 sodass
b2=k2*b1
b3=k3*b1
b4=k4*b1
gleichermassen gilt dann für die höhen:
h1-h4:
h2=k2*h1
h3=k3*h1
h4=k4*h1
übrigens gilt b1+b2+b3+b4=2r
wobei r der radius des halbkreises ist.
gleichermassen gilt für die höhe an der stelle x:
h(x)=
sqrt(r^2-x^2)
=sqrt(r^2-(x-r)^2)
=sqrt(r^2-(x^2-2xr+r^2))
=sqrt(-x^2-2xr)
=sqrt(-x*(x-2r))
an der stelle b1/2 (in der mitte des ersten dreiecks) gilt:
h(b1/2)
=sqrt(-b1/2*(b1/2-2r))
für den winkel gilt dann
tan(alpha)^2=(h(b1/2)/(b1/2))^2
= (-b1/2*(b1/2-2r))/(b1/2)^2
=-1+4r/b1
usw.
keine Ahnung wie das geht :-D
wobei...
Falls ich mich nirgends verrechnet habe, dürfte, da der winkel überall gleich ist, gelten:
tan(alpha)
=-1+4r/b1
=-1+4r/b2
=-1+4r/b3
=-1+4r/b4
sowie eben die gleichung
b1+b2+b3+b4=2r
falls ich diese gleichungen richtig hergeleitet habe, sollte man damit manches bestimmen können.
hoffe ich :-)
Das kann durchaus passen.
Aber kann man es auch beweisen?
ich erwäge mangels anderer Optionen mittlerweile enrsthaft, die Vektoren auszupacken :-D
Das Ding muß symmetrisch sein.
Die beiden mittleren Zacken treffen sich im Kreismittelpunkt.
Wenn Du nun den Mittelpunkt mit den Zacken verbindest, bekommst Du lautter gleichschenklige Dreiecke. Es sollte sich zeigen lassen, daß die alle den gleichen Scheitelwinkel haben und daß der dem Winkel der Zacken entspricht.
180/5=36
Die Verbindung zwischen Kreismittelpunkt und der ersten Zackenspitze sollte eine Winkelhalbierende sein.
Wenn die Basiswinkel der Zacken a sind und der Winkel in der Spitze b, gilt auf jeden Fall, daß 2a+b 180° ergeben.
Wenn man noch zeigen kann, daß a=2b bzw. daß 5b=180°, hat man gewonnen.
Rückblickend betractet ist mein Shcrieb oben nicht richtig.
die Stellen, an denen wir die funktionswerte brauchen, sind ja
b1/2
b1+b2/2
b1+b2+b3/2
b1+b2+b3+b4/2
und nicht einfach nur b1-b4 -.-
Ich würde jetzt mal hingehen und eine Vereinfachung machen:
weil ja winkel überall gleich sind, ist der linkeste und der rechteste Winkel gleich und wegen viel symmetrie und ähnlichkeitsblabla ist das Ding symmetrisch.
sopdass man es in 2 halbkreise zerlegen kann, die jeweils aus einem großen und einem kleinen Dreieck bestehen.
nehmen wir den rechten viertelkreis und legen ihn links an die y-achse an.
dann ist die gleichung ganz simpel
f(x)=sqrt(r^2-x^2)
da wir 2 dreiecke haben, beginnt die linie, die die 2 dreiecke zeichnet (hoch-runter-hoch-runter) im urpsrung, also auf der x-achse und endet bei x=r auf der x-achse.
nenen wir beim linken, größeren Dreieck die seitenbreite a und beim rehcteren die seite unten b.
sodas
a+b=r gilt.
weiter gilt
f(a/2)=sqrt(r^2-a^2/4)
sowie
f(a+b/2)=sqrt(r^2-(a+0.5b)^2)
weils vielleicht nützlich ist, berechnen wir die seiten des dreiecks über pythagoras:
d1^2=a^2/4+(r^2-a^2/4)=r^2,
also wie zu erwarten d1=r.
damit folgt dass
cos(alpha)=(a/2)/r=a/(2r)
sei b=k*a , weil halt ähnlichkeit und so folgt dann auch
f(a+b/2)=k*f(a)
betrachten wir das quadrat davon:
r^2-(a+0.5b)^2=k^2*(r^2-a^2/4)
r^2-(a+0.5ka)^2=k^2*(r^2-a^2/4)
r^2 - a^2*(1+0.5k)^2=k^2r^2 - k^2a^2/4
r^2*(1-k^2) =a^2*(-k^2/4+1+0.5k)
gleichermassen ist ja auch
r=a+b
=a+ka
=a*(1+k)
ich habe keine Ahnung wie das gehen soll, zu viel unbekannten und zu wenig gleichungen :-(
Hier ein Weg ohne Taschenrechner, welcher bei diesem Wettbewerb nicht erlaubt ist:
Durch ein bisschen Rumprobieren kann man darauf kommen, dass sich aus den Spitzen der 4 Dreiecke der Linie und den Punkten A und B ein halbes regelmäßiges 10-Eck in dem Halbkreis aufspannt.
Hey, also ich verstehe jetzt immer noch nicht so ganz was das Ergebnis ist xD