Irgendeine Zahl hoch unendlich, was kommt daraus?
Was ist irgendeine beliebige Zahl hoch unendlich ? Theoretisch wirds ja auch unendlich weil eine Zahl unendlich mal mal nehmen wird unendlich. Oder gibt es da Sonderfälle ?
7 Antworten
Das stimmt auch, wenn die Basis größer als 1 ist.
Die Funktion b^x ist dann streng monoton steigend mit uneigentlichem Grenzwert unendlich.
Es gibt aber daneben Sonderfälle. Unter anderem: Die Funktion 1^x ist konstant 1. Die Funktion 0^x ist für x<=0 nicht definiert und ansonsten Null. Die Funktion b^x für b<-1 divergiert zwar, hat aber keinen Grenzwert, da sie alterniert und fortwährend ihr Vorzeichen wechselt. Lass dir die Funktion mal zeichnen, dann siehst du es. Auch da müsste man Fallunterscheidungen treffen.
Die Funktion nennt sich als Folge betrachtet geometrische Folge und benötigt viele einzelne Betrachtungen, um die von dir gesuchten Grenzwerte zu ermitteln. So einfach, wie du sagst, ist es nicht. Siehe Abschnitt "Konvergenz" in Wikipedia https://de.m.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Folge
Du kannst mit Grenzwerten rechnen, mit unendlich selber im Normalfall nicht. Rechnest du mit Grenzwerten, so gelten für reelle x die Regeln "x^n -> 1 <==> x = 1", "x^n -> unendlich <==> x > 1" und "x^n -> 0 <==> |x| < 1". Für "|x| >= 1 und x < 0" divergiert x^n.
Negative Zahlen verhalten sich anders als positive Zahlen.
Zahlen >1 unterscheiden sich von Zahlen <1
Die Null ist auch spaßig.
"unendlich" ist kein Wert mit dem man einfach so rechnen kann.
Als Grenzwert:
x^n für n-> unendlich geht für x-Werte>1 gegen unendlich, für x = 1 gegen 1, für 0 < x < 1 gegen 0.
Für negative x existert kein Grenzwert, für 0 sind eigene Betrachtungen notwendig.
Man kann nicht hoch unendlich rechnen, weil unendlich keine Zahl ist. Du meinst höchstens den Grenzwert.