27 hoch 1/4 = 4. wurzel von 27. Warum ist das so?
Hallo liebe GuteFrage.net Community, ich habe ein kleines Problem... Ich befinde mich derzeit in der 10. Klasse einer Realschule in Bayern und habe auch relativ gute Noten in Mathe immer zwischen 2 und 1, allerdings ergibt es für mich absolut keinen Sinn das beispielsweise 4 hoch 1/2 = 2. Wurzel von 4 sein soll. Wenn ich das im Taschenrechner nachprüfe stimmt das natürlich, allerdings verstehe ich das Rechengesetz nicht...
Nehmen wir die Zahl 4 hoch 3. 4 hoch 3 bedeutet ausgeschrieben 4 mal 4 mal 4, 4 hoch 2 dagegen bedeutet 4 mal 4 4 hoch 1 bedeutet 4 4 hoch 1/2 bedeutet dann was ausgeschrieben ??? Mein Lehrer meinte darauf nur "na es bedeutet die 2.Wurzel von 4" ergibt für mich aber keinen Sinn, mit Hochzahlen zu rechnen bedeutet ja das man eine beliebige zahl so oft mit sich selbst mal nimmt, wie es die jeweilige Hochzahl entspricht. habe ich also 9 hoch 9 nehme multipliziere ich also meine zahl neun mal mit sich selbst, wie will man aber eine zahl ein halb mal mit sich selbst multiplizieren? Hoffe Ihr habt mein "Problem" verstanden, wäre um jede Hilfe sehr dankbar, da ich mathe verstehen möchte und nicht einfach einer Regel folgen will die ich nicht verstehe :) PS: ich weiß selbst das 4 hoch 1/2, 2 ergibt, nur fehlt mir die Erklärung warum das so ist :D Danke für jede Hilfe :)
5 Antworten
Im endeffekt bedeutet
a^b = x
a*a*a*a*... = x
(b-mal a mit sich selbst multipliziert) = gesuchte Zahl
a^(1/b) = x
ist gleichbedeutend mit:
a = x^b
a = x*x*x*x*...
a = (die gesuchte zahl b-mal mit sich selbst multipliziert)
Es ist so das der Zähler immer das normale hoch ist und der Nenner die Wurzel also musst du dir denken das die Wurzel gezogen wird....
ich rede vom WARUM, warum ist das so, das es so ist weiß ich selbst. Ich will mir nichts denken, ich will schlicht und einfach wissen wieso...
Die 4. wurzel von 27 hoch 4 ist 27, soweit klar?
(27 ^ 1/4) ^ 4 = 27 ^ (1/4 * 4) = 27 ^ 1 = 27.
Also ist (27 ^ 1/4) gleich der 4 Wurzel aus 27.
ja, so einfach geht es, wenn man auf den Punkt kommt.
Lieber MyTime.... ich wollte es Dir noch mal mit Worten erklären, aber wenn dies reicht, dann ist gut dann erspare ich es mir.
Melde Dich, wenn Du noch etwas mehr Worte braiuchst.
Nun sieh es mal so:
9 hoch zwei bedeutet: Du bekommst das Ergebnis, welches daraus resultiert, wenn du die Zahl zwei mal mit sich selbst multiplizierst. (Quadratisch)
9 hoch einhalb bedeutet: Du bekommst die Zahl, die du mit sich selbst zweimal multiplizieren musst, um 9 herauszubekommen (Quadratwurzel)
9 hoch drei bedeutet: Du bekommst das Ergebnis, welches daraus resultiert, wenn du die Zahl drei mal mit sich selbst multiplizierst. (Kubisch)
9 hoch ein Drittel bedeutet: Du bekommst die Zahl, die du mit sich selbst drei mal multiplizieren musst, um 9 herauszubekommen (Kubikwurzel / dritte Wurzel)
...
Klar?
Du hast Dir sehr viel Mühe gegeben, es mit Worten schön zu umschreiben, aber leider hast Du den Punkt, auf den es jetzt ankommt (Hoch 1/3) falsch formuliert
Nö, war richtig und absolut toll formuliert. Ich werde mir diese Formulierung für die Zukunft merken - ich finde sie genial
Vielleicht hätte er für die dritte Wurzel lieber 27 statt 9 nehmen sollen, dann hätte jeder es im Kopf nachrechnen können...
3. Wurzel aus 27 ist 3 weil 3*3*3 = 27.
3. Wurzel aus 9 ist irgendwas irrationales, das kaum ein Mensch im Kopf rechnen kann...
Hallo
die Definition, dass die Potenz a^n gleich dem Produkt aus n gleichen Faktoren vom Wert a ist , ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn n eine ganze Zahl größer als 1 ist, also n in {2,3,4,5, ....}.
Es ist nun aber eben sinnvoll, diese Definition durch weitere zusätzliche Definitionen auf mathematisch sinnvolle Weise zu ergänzen. So definiert man zunächst etwa:
a^1 := a
a^0 := 1 (zumindest, falls a nicht gleich 0 ist)
Dann kommt die Definition von Potenzen mit negativen Exponenten, die du wohl auch schon kennst:
a^(-n) := 1 / (a^n) (falls a ≠ 0)
Diesen Prozess der sinnvollen Erweiterung der Definition kann man nun eben auch noch weiter führen. Ein Schritt dabei ist eben die Definition
a^(1/n) := n-te Wurzel von a (falls a≥0 ist)
Wichtig ist dabei einfach, dass die neuen Definitionen jeweils so gesetzt werden, dass man mit den damit neu definierten "Potenzen" (die nun eben auch etwa für Wurzeln stehen können) weiterhin mit den schon bekannten Rechenregeln für Potenzen umgehen kann.
Nur ein ganz kleines Beispiel dazu:
Was ergibt das Produkt aus der Kubikwurzel von 2025 mit der Quadratwurzel aus der Kubikwurzel aus 2025 ?
Mit der Potenzschreibweise ist das dann:
2025^(1/3) * (2025^(1/3))^(1/2)
= 2025^(1/3) * 2025 ^(1/3*1/2)
= 2025^(1/3) * 2025 ^(1/3*1/2)^(1/3) * 2025 ^(1/6)
= 2025 ^(1/3+1/6) = 2025^(2/6+1/6)
= 2025^(3/6) = 2025^(1/2)
= Quadratwurzel aus 2025 = 45
Also es ist so das das a^1das selbe ist wie b^2 also b*b von 1 auf a und man jetzt das Gegenteil (Wurzel) nur einmal machen muss
a^0 a^1
b * b ->
<- ✓b * ✓b
danke, jetzt hab ich es endlich verstanden :D