Intuition hinter Kompaktheit?
Irgendwie ist Kompaktheit für mich so ein Begriff mit dem ich nicht warm werde. Gibt es irgendeine Intuition dahinter, wieso Kompaktheit über offene Überdeckungen definiert wird ?
1 Antwort
Für endlich-dimensionale reelle Vektorräume würde es genügen, von Teilmengen zu sprechen, die zugleich beschränkt und abgeschlossen sind. Will man die Schlüsse, die dort dann gültig sind, aber entsprechend in allgemeineren Strukturen durchführen, so stößt man auf Hindernisse. In ganz allgemeinen topologischen Räumen macht "Beschränktheit" gar keinen Sinn als Begriff (man hat ja nicht einmal eine Metrik!).
Man hat nun erkannt, dass die Rolle der beschränkt+abgeschlossenen Teilmengen im IR^n in beliebigen topologischen Räumen von den sog. kompakten Teilmengen übernommen werden. Die kompliziert wirkende (da nicht gut an Vorstellungen knüpfbare) Definition der Kompaktheit mit Hilfe des Überdeckungsbegriffs hat ihren Grund, dass man auch in allgemeinen Strukturen analytische Sätze beweisen möchte. Dazu reichen die "Gewohnheiten aus dem IR^n" bei weitem nicht aus. Der letzte Rest von "Endlichkeit", wie sie ja in Form der endlichen Dimension beim IR^n gegeben ist, wird in der abstrakten Definition der Kompaktheit an entscheidender Stelle sichtbar:
Eine Teilmenge T heißt kompakt, wenn jede beliebige offene Überdeckung von T eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Sobald man also irgendeine Ansammlung X von offenen Teilmengen hat, in deren Vereinigung T enthalten ist, so muß es schon eine Auswahl von nur endlich vielen zu X gehörigen Mengen geben, in deren Vereinigung T enthalten ist. Egal wie riesig viele Mengen am Mengensystem X beteiligt sind - es muß immer möglich sein, darunter endlich viele zu finden, deren Vereinigung schon genügt, um T zu umfassen. Das muss man beweisen, um T als kompakt zu erkennen. Der Beweis fängt dann typischerweise so an: "Sei X irgendeine offene Überdeckung von T. Dann.... "
Der letzte Rest von "Endlichkeit" [...] beim IR^n
Diese Formulierung gefällt mir :-)
