Intervallfrage der Mathematik
So weit ich weiß ist [a,b] doch definiert als:
- {x| a =< x =< b}, wenn a =<b
- {x| b =< x =< a}, wenn b > a
Und somit ist doch [a,b] = [b,a]
Ein leeres Intervall wäre lediglich (a,b) mit a=b
Wer stimmt dem zu?
3 Antworten
ich verstehe deine frage nicht so recht....
ein intervall is NUR die erste alternative, die du nennst. ich würde den fall a=b dann "entartet" nennen. zunächst mal müsste also a<b sein.
dann kannst du die erstere definition für die schreibweise [a,b] verwenden.
die 2te variante deiner definition ist diejenige definition, sodass [b,a] ein intervall ist.
wie du siehst kann dann aber niemals [a,b]=[b,a] sein, da diese ausdrücke nur dann definiert sind, wenn a<b bzw. b<a. dies kann aber NIE gleichzeitig gelten.
ergänzt man also die definition um "entartete" intervalle zuzulassen, so kann [a,b]=[b,a]=[a,a]=[b,b] gelten, aber das gibt es ohnehin nur für abgeschlossene intervalle und wird so weit mir das bekannt ist nie so verwendet.
was genau war also deine frage?
willst du immernoch intervalle verwenden, dann würde ich schreiben:
[[a,b]] sei definiert als Intervall [a,b] für ab
dann arbeite mit dem neuen symbol [[ .]] und beschreibe die menge Z(a,b) = [[a,b]] vereinigt mit [[b,a]]
ansonsten definiere sofort Z(a,b) = {x mit der eigenschaft: a<= x <= b oder b<= x <= a}
die "unmöglichen" fälle ergeben bei den ungleichungen automatisch keine lösung zurück. zB.: keine zahl x ist "<=0" UND ">=1", aber andersrum schon!
ich merk jetzt erst, dass gutefrage die formatierung meiner ersten möglichkeit brutal geändert hat.
das heißt natürlich: [a,b] falls a kleiner b, [b,a] sonst.
hoffe, das wird nicht um-formatiert
Da [a,b] bedeutet, dass die Grenzen mit eingeschlossen sind, wären nur für a = b die Intervalle [a,b] und [b,a] dieselben und würden auch nur ein Element enthalten, nämlich das mit den beiden Namen.
Jeder andere Versuch würde zu einem Widerspruch oder einer leeren Menge führen.
(a,b) im Vergleich mit (b,a) wäre tatsächlich leer, auch bei a=b, und dürfte gar nicht mit Gleichheitzeichen geschrieben werden, weil Grenzen gerade nicht enthalten sind.
In der Tat ist ja auch ein ausschließendes Intervall zwischen einem Punkt und sich selbst nicht gerade sinnvoll.
Wie kann ich denn eine Menge aufschreiben, die alle Zahlen zwischen a und b enthält, egal ob a oder b größer ist und ohne Fallunterscheidung um Zeit und Platz zu sparen ?
Du müsstest eine Darstellung nehmen, die keine geordnete Menge beschreibt. Dann wirst du allerdings auch eine Beschreibung der Mengenelemente brauchen, oder du musst alle aufzählen. Die Frage ist nur:
wozu? Gib doch mal eine Anwendung bekannt, wo es nötig wäre.
Brauche eine Menge aller Zahlen zwischen x und 1-x, 0=<x=<1, ohne Fallunterscheidung
Das hört sich richtig an.
Ja ich brauche so ein entartetes Intervall damit ich keine überflüssige Fallunterscheidung machen muss. Wie notiert man denn, dass man entartete Intervalle zulässt? Danke mein Freund