Injektiv ,surjektiv oder bijektiv?
f : Z × Z −→ {Wahr, Falsch}, (x y) −→ f((x, y)) := (x < y)
f : N × N −→ N, (a, b) −→ f((a,b)) := a + b
ich soll herausfinden ob die beiden Injektiv ,surjektiv oder bijektiv sind. Nur kann ich nichts damit anfangen. Vorallem mit der ersten. Vorstellen bzw Graphisch wüsste ich nicht mal wie. Ich würde mich über eine Erklärung in worten als auch Rechnersich freuen .
2 Antworten
Graphisch sollst du dir da überhaupt gar nichts vor stellen. Du sollst dir nur überlegen ob die Eigenschaften, die MATHEMATISCH für injektiv, surjektiv und bijektiv gelten erfüllt sind. Zum Beweis der Injektivität versuchst du zwei x und y im Definitionsbereich zu finden, die nicht gleich sind und dann f(x) = f(y) zu erreichen. Entweder du führst das zu einem Widerspruch (injektiv) oder du findest ein Beispiel (nicht injektiv). Für Surjektiv setzt du ein beliebiges z im Wertebereich an und findest ein x im Definitionsbereich für das f(x) = z. Bijektiv ist eine Funktion wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Hinweis: die beiden Funktionen in der Frage sind beide surjektiv, aber nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv. Nun versuche das zu beweisen.
Eine Indikation für die Frage ob eine Funktion injektiv oder surjektiv sein kann ist die Größe des Definitions- und Wertebereiches. Ist der Definitionsbereich "groß" und der Wertebereich "klein", so ist es ziemlich unwahrscheinlich das die Funktion injektiv ist. Bei dem ersten Beispiel besteht der Wertebereich nur aus zwei Werten, nämlich "wahr" und "falsch". Nun mußt du nur noch zwei Elemente des Definitionsbereiches finden, die beide das gleiche Funktionsergebnis haben und zwei Elemente, die ein voneinander verschiedenes Ergebnis erreichen. Ähnlich gehst du beim zweiten Beispiel vor.
Baoh , alter Franke . So viel gute Erklärung und nicht nur ein : bitte an den Definitionen von i , s und b abarbeiten .
Die Darstellung mit Pfeilen ist die ausführliche Darstellung einer Zuodnungsvorschrift. Fiese Darstellung besteht zunächst aus zwei Mengen, nämlich dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W. Die Zuordnung erfolgt von D nach W, ausgedrückt als D -> W. Dann dokgt die Beschreibung der Vorschrift auf Elementbasis, man nimm also ein beliebiges d € D und beschreibt wie es auf ein w € W abgebildet wird. Das wird mit d -> f(d) := <Formel(n)> beschrieben. Dabei hat der zweite Pfeil einn "Haken" am linken Ende. Ein Beispiel findest du hier
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)
im Kapitel "Notation".
Du hast das selbe Problem wie viele Studierende im ersten Semester. Dir fehlt der Zugang zur mathematischen Sprache. Ich habe bereits hier
Äquivalenzrelationen? (Mathematik, Diskrete Strukturen) - gutefrage https://www.gutefrage.net/frage/aequivalenzrelationen-4#answer-522738618
und hier
Surjektiv, bijektiv,injektiv, umkehrabbildung? (Mathematik, injektiv, surjektiv) - gutefrage https://www.gutefrage.net/frage/surjektiv-bijektivinjektiv-umkehrabbildung#answer-521885558
beschrieben wie man bei Aufgaben dieser Art vorgeht. Dabei habe ich auch Literatur empfohlen die helfen kann.
Bei ersten Verstehe ich das so richtig : für wahr oder falsch finde ich immer ein pärchen a,b das entweder wahr oder falsch ist? z.b a=2 b=3 währe wahr und a=3 und b=2 wäre falsch ?
Eine letzte Frage hätte ich jedoch noch ich habe beides Gelöst und begründet aber bei der ersten was ist wenn a=b ist dann könnte es weder wahr noch falsch sein? Also z.b a=5 und b=5 dann steht da 5<5. Ist das dann einfach Flasch weil 5 nicht kleiner 5 ist oder was? Hoffe du verstehst was ich meine.
Ich kann Dir die Lösungen an den Kopf schleudern, überlegen musst Du selbst, warum das so ist:
(1) f nicht injektiv, aber surjektiv, nicht bijektiv
(2) f weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv
Die zweite Funktion ist ebenfalls surjektiv, bereits (x, 0) erzeugt ganz N.
Dann versuch mal die 1 durch Addition zweier natürlicher Zahlen zu treffen - 0 ist für mich keine natürliche Zahl, sonst wäre die Menge mit N_0 bezeichnet…
Da haben wir eine unterschiedliche Vorbildung, in unserer Analysisvorlesung war 0 immer Element der natürlichen Zahlen und das wurde so durch gezogen bis zum Hauptstudium.
Offenbar eine reine Definitionsfrage - sieht auch Wikipedia so; der Fragesteller wird wissen, wie N bei ihm definiert ist und kann dann entsprechend antworten…
Deine erklärung für injektiv hab ich verstanden dennoch bereitet mir surjektiv probleme . Vorallem mit der aufgabe irgdenwie kann ich mit dem hier
:f : Z × Z −→ {Wahr, Falsch}, (x y) −→ f((x, y)) := (x < y)
f : N × N −→ N, (a, b) −→ f((a,b)) := a + b
nichts anfangen also in worten.Heißt beim ersten Wahr Falsch ist der Wertebereich und x<y definitionsbereich ? Wie interpretiere ich die pfeile ?