Imaginäre Zahlen?
Wie vergleicht man imaginäre Zahlen, also, dass man z.B. sagen kann:
i>5i+4>-3... (Das stimmt sehr wahrscheinlich nicht)
Aber ist das möglich?
4 Antworten
Es gibt keine Ordnungsrelation mit der die komplexen Zahlen zu einem geordneten Körper werden.
Siehe beispielsweise auch:
- https://de.wikipedia.org/wiki/Geordneter_Körper#Beispiele_und_Gegenbeispiele
- https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Weitere_Eigenschaften
======Ergänzung======
Was man jedoch machen könnte, wäre die komplexen Zahlen anhand ihrer Beträge zu vergleichen...
Beispielsweise erhält man:
Dementsprechen könnte man sagen, dass i betragsmäßig kleiner als -3 ist, und dass -3 betragsmäßig kleiner als 5i + 4 ist. Es ist also quasi „1 ≤ 5i + 4 ≤ -3“.
Allerdings sollte man beachten, dass es sich bei einem Vergleich der Beträge nicht um eine Ordnungsrelation (im Sinne einer Halbordnung oder einer Totalordnung) handelt, sondern nur um eine Quasiordnung.
Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Quasiordnung#Beispiele_und_Gegenbeispiele
Dementsprechend sind einige Eigenschaften nicht erfüllt, die man von der Ordnung vielleicht gerne hätte. Beispielsweise muss aus z₁ ≤ z₂ und z₂ ≤ z₁ nicht unbedingt z₁ = z₂ folgen. Und diese Quasiordnung ist auch nicht mit der Körperstruktur (insbesondere mit der Addition) verträglich. Und, wie du anhand des zuvor genannten Beispiels erkennen solltest, widerspricht diese Quasiordnung der üblichen Ordnungsrelation in den reellen Zahlen. Beispielsweise ist bei der betragsmäßigen Quasiordnung „1 ≤ -3“, obwohl in den reellen Zahlen umgekehrt -3 ≤ 1 ist.
Aber ist das möglich?
prinzipiell ja ... Du musst dir nur selbst eine Metrik überlegen und überprüfen, dass diese dann auch für deinen Anwendungsfall sinnvoll ist.
Du könntest beispielsweise auf den Betrag schauen. Du könntest auch sagen, dass (a+bi) < (c+di) <=> a < c oder a = c und b < d. Oder oder oder ...
Einen geordneten Körper, wie beispielsweise die reellen Zahlen, bekommst du mit den komplexen Zahlen nicht hin.
Danke für den Hinweis, da waren die Finger an der Tastatur zu schnell für das Hirn. Hab's ausgebessert
Man kann komplexe Zahlen nicht direkt hinsichtlich ihrer "Größe" unterscheiden, so wie man das mit reellen Zahlen macht. Dazu bedarf es einer sogenannten Norm die auf der Menge der Komplexen Zahlen definiert ist. Eine solche "Norm" könnte z.B. der Betrag der komplexen Zahl sein. Aber auch dann gibt es unterschiedliche Zahlen mit gleicher "Norm" also nicht wirklich eine Reihenfolge von "klein" nach "groß".
Das stimmt in der Tat nicht.
Komplexe Zahlen können nur auf Gleichheit und Ungleichheit verglichen werden. Eine Anordnung dieser Zahlen, die einen Vergleich auf größer oder kleiner ermöglichen würde, gibt es nicht.
reale Zahlen ? wo gibt es die denn zu kaufen ? :))