Ich schreibe demnächst eine Mathearbeit und keiner kann mir die Aufgabe wirklich erklären?

Answer 1

[Rhenane]

12.Wurzel(2) ist der Wachstumsfaktor, d. h. um an die Frequenz einer Taste zu kommen, muss nur die vorherige Taste mit diesem Faktor multipliziert werden.

D. h. die zweite Taste hat die Frequenz 27,5 * 2^(1/12) = 29,14.
Die dritte Taste hat dann die Frequenz (27,5 * 2^(1/12)) * 2^(1/12)) = 27,5 * 2^(2/12),
die vierte entsprechend 27,5 * 2^(3/12), usw.

als Formel bzgl. der n. Taste: f(n)=27,5 * 2^((n-1)/12)

Bei d) ist nach f(n)=440 gefragt.

Answer 2

[evtldocha]

Ich antworte mal auf Aufgabe b)

Die Tasten werden mit "n" durchnummeriert und die Taste mit dem tiefsten Ton hat die Nummer 1. Dann ist die Frequenz der n-ten Taste.

$f\left(n\right)=27,5\cdot\left(\sqrt[12]{2}\right)^{^{\left(n-1\right)}}$

(Damit sollte eigentlich auch klar sein, wie man Aufgabe a) ohne die Formel berechnen kann - Du multiplizierst die Frequenz der vorhergehenden Taste mit dem Faktor, um die Frequenz der aktuellen Taste zu bekommen.

Aufgabe c) Eine Oktave sind 12 Tasten Unterschied (kann man aus der Beschriftung ablesen und die Tasten zählen), also die 13 Taste: Dann
$\frac{f\left(13\right)}{f\left(1\right)}=\frac{\left(\sqrt[12]{2}\right)^{^{12}}}{\left(\sqrt[12]{2}\right)^{^0}}=\frac{2}{1}=2$

Aufgabe d)

$f\left(n\right)=440\ \rightarrow\ 27,5\cdot\left(\sqrt[12]{2}\right)^{n-1}=440\$ $\rightarrow\left(\sqrt[12]{2}\right)^{n-1}=\frac{440}{27,5}\ \ \ \ \ \ \ \ |\ \ln$

$\rightarrow\ n-1=\frac{\ln\left(\frac{440}{27,5}\right)}{\ln\left(\sqrt[12]{2}\right)}=48\ \rightarrow\ n=49$

Die Tasten abzählen musst Du selbst, oder Du weißt, dass der Kammerton 440 Hz ein A ist und dann suchst Du ein "A" kurz nach der Mitte der Tastatur.

Comments

[Fragnichtwie503]

Was bedeutet n-1?

[evtldocha]

@Fragnichtwie503

Sorry, die Frage kann ich nicht verstehen, wenn jemand so weit in Mathematik fortgeschritten ist, dass er/sie Wachstumsprozesse und Exponentialfunktion behandelt und dann fragen muss, was "n - 1" bedeutet, zumal in meiner Antwort noch steht: "Die Tasten werden mit "n" durchnummeriert und die Taste mit dem tiefsten Ton hat die Nummer 1. Dann ist die Frequenz der n-ten Taste."

Answer 3

[SeifenkistenBOB]

Vielleicht wird es anschaulicher, wenn man mal die Zahlen weglässt:

Die Frequenz eines Tons hängt mit seinem rechten Nachbar über den Faktor

$f=\sqrt[12]{2}$ zusammen.

Der nächst höhere Ton (rechter Nachbar) nach A'' ist der Ton Bb'' (oder auch A#'').
Den Ton Bb kann man aber auch ausdrücken als

$Bb''\ =\ f\cdot A''\ =\ \sqrt[12]{2}\cdot A''$

Der rechte Nachbar vom Bb'' ist das H', was sich wiederum durch das Bb'' oder das A'' mit dem Faktor ausdrücken lässt.

$H'=f\cdot Bb''\ =\ f\cdot\left(f\cdot A''\right)\ =\ f\cdot f\cdot A''\ =f^2\cdot A''$

Dieses Schema lässt sich nun beliebig fortsetzen. Man muss nur entsprechend oft mit dem Faktor f multiplizieren, um die gewünschte Tonhöhe in Abhängigkeit von A'' zu erhalten.

Eine Oktave entspricht 12 solcher Tonsprünge.

Die Antwort für Aufgabe d) kann dann mittels Lösung der Gleichung
$27,5\ \text{Hz}\ \cdot f^x\ =\ 440\ \text{Hz}$ $f^x=\left(\sqrt[12]{2}\right)^x=\frac{440\ Hz}{27,5\ Hz}=16$

Mit ein bisschen Zahlen-Erfahrung weiß man, dass irgendwann 16 herauskommt, wenn man die 2 ein paar Mal mit sich selbst multipliziert. Von daher wissen wir schon mal, dass der Kammerton eine ganze Oktave über dem A'' liegen muss.
Die Rechnung vereinfacht sich zu:

$f^x=\left(\sqrt[12]{2}\right)^{12\cdot k}=2^k=16$

Während das x oben für die Anzahl der Tonsprünge steht, bezeichnet das k die Anzahl der Oktaven. Also k = 12*x.

Ganz formal ließe sich die Lösung natürlich auch finden, indem man den Logarithmus zur Basis "12-te Wurzel aus 2" von 16 berechnet.