Hilfe beim Gleichung Lösen bitte?
\sqrt { 2+x } - \sqrt { 2-x } = 2 * \sqrt { x-1 }
Hallo
können Sie mir helfen , um diese Gleichung zu lösen bitte :
\sqrt { 2+x } - \sqrt { 2-x } = 2 * \sqrt { x-1 }4 Antworten
Üblicherweise hilft es bei solchen Wurzelgleichungen oft, eine Wurzel auf der einen Seite stehen zu haben, den Rest auf der anderen Seite. Dann quadrieren, um die eine Wurzel wegzubekommen. Und gegebenenfalls nochmal eine Wurzel auf einer Seite isolieren, quadrieren, usw. bis man keine Wurzel mehr dastehen hat.
Damit erhält man dann schließlich x = 6/5 und x = 2 als die Lösungen der Gleichung.
Ich habe das hier mal (einigermaßen ausführlich, aber ohne großartige Erklärungen) vorgerechnet:
Ich finde hier vor allem die korrekte Verwendung der Folgepfeile bzw. Aequivalenzpfeile lehrreich! Gut notiert! Das zeigt sehr schoen, dass man am Ende nicht auf eine Probe verzichten kann! Lediglich wuerde ich empfehlen, erst dann auszumultiplizieren, wenn es wirklich notwendig wird :)
Zunaechst ueberlegen wir uns, auf welchem Definitionsbereich wir Loesungen suchen. Damit alle drei Wurzeln definiert sind (ich gehe mal davon aus, dass Du ueber den reellen Zahlen arbeitest), muss x zwischen 1 und 2 (jeweils einschliesslich) liegen.
Nun bestimmen wir moegliche Loesungen, d.h. wir nehmen die Gleichung als erfuellt an und formen um. Zuerst quadrieren wir beide Seiten:
2+x - 2\sqrt{ (2+x)(2-x) } + 2-x = 4(x-1)
Nun fassen wir zusammen und isolieren die uebrige Wurzel. Man kommt nach einer kleinen Rechnung auf:
2(2-x) = \sqrt{(2+x)(2-x)}
Nun quadrieren wir wieder beide Seiten und erhalten:
4(2-x)^2 = (2+x)(2-x)
Diese Gleichung ist erfuellt, wenn x=2. Sollte x nicht 2 sein, koennen wir durch (2-x) dividieren:
4(2-x) = 2+x
Diese Gleichung hat x=6/5 als einzige Loesung. Also koennen nur die beiden Werte x=2 und x=6/5 Loesungen der Gleichung sein. Nun muessen wir uns umgekehrt fragen, bei welchen Kandidaten es sich wirklich um eine Loesung handelt. Dies pruefen wir durch Einsetzen:
- \sqrt { 2+2 } - \sqrt { 2-2 } = 2 * \sqrt { 2-1 } ist korrekt
- \sqrt { 2+6/5 } - \sqrt { 2-6/5 } = 2 * \sqrt { 6/5-1 } ist ebenso korrekt
Die Gleichung besitzt also genau die beiden Loesungen x=2 und x=6/5.
Beide Seiten quadrieren, jene Teile, die dann noch unter der Wurzel stehen, alleine auf eine Seite bringen und nochmal quadrieren.
Dann mit pq-Formel lösen.
Gleichung auf beiden Seiten quadrieren.
Dann weiter auflösen wie gewohnt.