Hilfe bei Grenzwertbestimmung und L'Hospital?
Hallo. Ich soll bald ein Referat zu dem Thema halten, nachdem ich mich selbstständig damit auseinandergesetzt habe. Leider hab ich inzwischen eine Menge Fragen zu denen ich im Internet keine Antworten gefunden habe. Hoffe jemand hier kennt sich mit dem Thema aus und kann mir helfen.
Im Allgemeinen hab ich das Thema verstanden. Also, dass man die Regel von L`Hospital anwenden darf, wenn man zum Beispiel 0 durch 0 teilt. Hierbei wäre meine erste Frage: Was ist mit 0 durch unendlich oder umgekehrt?
Weiterhin hab ich für Fälle wie 0 mal unendlich eine Tabelle gefunden (Siehe Bild 1).
Wie die Rechnungen umgestellt werden hab ich ebenfalls verstanden. Hierbei jetzt jedoch weitere Fragen:
- Gilt diese Tabelle nur, wenn ich die Funktion gegen 0 untersuche, oder auch wenn ich sie gegen unendlich untersuche?
- Wenn ich zum Beispiel im ersten Fall einfach zwei Funktionen einsetze, wie zum Beispiel in Bild 2, wie wende ich dann die Regel an, bzw. leite das ab?
Bild 1:
Bild 2:
1 Antwort
Prinzipiell gilt : Eine der wichtigsten Voraussetzungen ist, es dass du den Fall "0/0" odee "undendlich/unendlich" hast.
Dann natürlich müssen beide betrachtete Funktionen (unpräzise) diffbar und stetig. Sollte eine Funktion unstetig sein, hast du eh verloren. Nenner darf nicht null sein (außer wenn du denn Grenzübergang betrachtest)
1) Ja, es ist nicht entscheidend, ob du dein Argument eigentlich oder uneigentlich ist.
2) Zu welchem Argument?
Ich bezweifle, dass dich dies zum Ziel bringen würde. Versuche es mal mit 1/e^(-x) * x². Wichtig, du musst sicherstellen, dass der rechte Grenzwert auch existiert, sonst würde der "gesuchte" auch nicht existieren.
Der rechte ist ja ganz klar unendlich. Wie komme ich denn darauf? Also auf 1/e^(-x) * x² ?
1/e^(-x) = 1/1/e^x * x² = e^x * x². Jetzt einfach "rückwärts" denken.
Okay, den Gedankengang versteh ich gar nicht und ich glaube der hat auch nichts mehr mit L´Hospital zu tun... :/
Wie man auf 1/e^(-x) kommt und was das mit meinem Thema zu tun hat.
Nun du kannst gerne deinen Ansatz oben anwenden, aber würdest du je ans Ziel kommen? d/dx = e^x und die obere Funktion d/dx 1/x² = -2/x³. Der Grenzwert wäre immer noch nicht zu bestimmen, aber mit dem oberen Ansatz, klappt es. Man muss probieren, so ist Mathematik leider manchmal. Die Umformung oben war nur dazu da, um dann L'Hospital erfolgreich anwenden zu können.
Fallen dir denn Beispiele ein, bei denen ich den Fall mit 0 mal unendlich habe und diese Formel anwenden kann? Wie gesagt, es ist für ein Referat wo ich das erklären muss. Da kann ich leider nicht einfach alles nach belieben umformen, sonst wäre es zu viel und zu kompliziert zum erklären glaube ich...
Naja, dein Thema ist auch nicht dass einfachste gewesen :D. Im Moment nur schwere, aber schau der Grenzwert ist auch schön lim x ->0 sin(x)/x.
Glücklicherweise darf ich alles mit Sinus oder Kosinus weglassen. xD
Also wenn ich e^x * x^2 gegen minus unendlich laufen lasse, hab ich ja den Fall 0 * unendlich. Also hab ich die beiden Funktionen in die entsprechende Formel aus der Tabelle eingesetzt. Damit sollte ich ja jetzt die Regel von L´Hospital anwenden können, oder? Aber wie würde ich das dann ableiten? Die 1 verwirrt mich ein bisschen.