Hilfe bei "einfacher" Extremalaufgabe .
Die Summe zweier natürlicher ZAhlen , deren Produkt 100 ist, soll klein wie möglich sein.Wie heißen diese Zahlen ?
x *y = 100 x+ y --> min
Ist der 1 satz nicht doppeltgemoppelt ? :D könnt ihr mir weiterhelfen oder Denkanstöße geben ? Wäre nett :)) Also die summer soll kleiner bleiben ,aber das produkt bleibt trzdm gleich ?
3 Antworten
Kann sein, dass ich mich irre, aber sind x und y nicht jeweils sqrt(100) ?
dann x=100/y und einsetzen in x+y also 100/y + y ableiten und =0 setzen und y berechnen
Zielfunktion:
f(x) = x + y (min.)
Nebenbedingung:
x * y = 100 <=> y = 100/x
Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen:
f(x) = x + 100/x
Extremwert berechnen:
f'(x) = 0 <=> x = -10 oder x = 10
f''(-10) = -1/5 => Hochpunkt (fällt weg, da Minimum gefragt)
f''(10) = 1/5 => Tiefpunkt
In Nebenbedingung einsetzen:
10 * y = 100 <=> y = 10
Die gesuchten Zahlen sind also x=10 und y=10.
f'(x) [gesprochen: "f Strich"] ist die Ableitung von f(x). Diese muss ich gleich 0 setzen, um die Extremwerte zu bekommen. Diese brauche ich wiederum, da die Aufgabe ja die möglichst kleine Lösung erfordert.
Mit einem grafischen Taschenrechner kann man das ganz leicht ausrechnen. Die Ergebnisse sind in diesem Fall 10 und -10. Diese beiden Werte muss ich jetzt in die zweite Ableitung (f''(x)) einsetzen. Kommt dort ein negativer Wert heraus, liegt ein Hochpunkt vor, kommt ein positiver heraus, ein Tiefpunkt. Da hier der möglichst kleine Wert gesucht ist, kommt nur der Tiefpunkt in Frage. Und der x-Wert des Tiefpunktes ist 10. Der Hochpunkt mit dem x-Wert -10 fällt in dieser Aufgabe einfach weg.
Wie kommst du auf x = -10 ?