Hilfe bei einer Matheaufgabe?
Beschreibe das Wachstum einer Alge, die nach 2 Wochen 20cm und nach 4 Wochen 80cm hoch ist, mithilfe einer Exponentialfunktion.
Berechne dann die Höhe der Alge zu Beginn der Beobachtung und nach 5 1/2 Wochen.
4 Antworten
Frage Chatgpt:
Um das Wachstum der Alge mithilfe einer Exponentialfunktion zu beschreiben, verwenden wir die allgemeine Form einer exponentiellen Funktion:
ℎ(�)=�⋅��
h(t)=a⋅bt
Hierbei ist:
- ℎ(�)
- h(t) die Höhe der Alge zur Zeit �
- t,
- �
- a der Anfangswert (die Höhe zu einem bestimmten Zeitpunkt),
- �
- b die Wachstumsrate und
- �
- t die Zeit.
Gegeben sind die Werte:
- Nach 2 Wochen (�=2
- t=2) ist die Höhe ℎ(2)=20
- h(2)=20 cm.
- Nach 4 Wochen (�=4
- t=4) ist die Höhe ℎ(4)=80
- h(4)=80 cm.
Setzen wir diese Werte in die allgemeine Form der Exponentialfunktion ein:
ℎ(2)=�⋅�2=20
h(2)=a⋅b2
=20
ℎ(4)=�⋅�4=80
h(4)=a⋅b4
=80
Teilen wir die beiden Gleichungen, um die Wachstumsrate (�
b) zu eliminieren:
ℎ(4)ℎ(2)=�⋅�4�⋅�2
h(2)
h(4)
=a⋅b2
a⋅b4
8020=�4�2
20
80
=b2
b4
4=�2
4=b2
�=2
b=2
Nun können wir die Wachstumsrate (�=2
b=2) in eine der Gleichungen einsetzen, um den Anfangswert (�
a) zu finden. Verwenden wir die erste Gleichung:
20=�⋅22
20=a⋅22
20=4�
20=4a
�=5
a=5
Die Exponentialfunktion lautet also:
ℎ(�)=5⋅2�
h(t)=5⋅2t
Jetzt können wir die Höhe der Alge zu Beginn der Beobachtung (�=0
t=0) und nach 5 1/2 Wochen (�=5.5
t=5.5) berechnen:
ℎ(0)=5⋅20=5⋅1=5
h(0)=5⋅20
=5⋅1=5 (Höhe zu Beginn)
ℎ(5.5)=5⋅25.5≈5⋅45.25≈226.25
h(5.5)=5⋅25.5
≈5⋅45.25≈226.25 (Höhe nach 5 1/2 Wochen)
Die Höhe der Alge zu Beginn der Beobachtung beträgt 5 cm, und nach 5 1/2 Wochen beträgt sie ungefähr 226.25 cm.
Hi,
die Alge beginnt bei 0 cm.
Nach 2 Wochen (t = 2) ist sie 20cm (h = 20) hoch, nach 4 Wochen (t = 4) 80cm (h = 80). Deine Punkte sind also A(2|20) und B(4|80).
Da die allgemeine Funktionsgleichung h = a•b^t ist, kannst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen aufstellen. Dazu setzt du h und t für beide Punkte ein:
20 = a•b^2 (Punkt A eingesetzt)
80 = a•b^4 (Punkt B eingesetzt).
Nun kannst du die zweite Gleichung durch die erste teilen:
80/20 = (a/a) • (b^4)/(b^2)
4 = 1 • b^2
b = {2; -2}
-2 geht als Lösung nicht, weil die Pflanze sonst ein negatives Wachstum haben müsste. Also ist b = 2.
Nun kannst du b = 2 in eine der obigen Gleichungen einsetzen:
20 = a•2^2
20 = 4a
a = 5
Somit ergibt sich als Exponentialgleichung:
h = 5 • 2^t.
Um nun das Wachstum nach 5½ Wochen auszuwerten (also t = 5,5), setzt du das einfach in die Gleichung ein:
h = 5 • 2^5½ = 226,27
Nach 5½ Wochen hat die Alge also ein Wachstum von 226,27 cm.
Und zu Beginn der Beobachtung hast du t= 0, also ist h = 5.
LG
die Alge beginnt bei 0 cm
In dem Fall käme sie bei exponentiellem Wachstum nie über diese 0 hinaus!
Hättest Du t=0 in Deine Gleichung
h = 5 • 2^t
- besser, aber für Schüler ungewohnt: h = 5cm * 2^((1/Woche) * t) -
eingesetzt, hättest Du die richtige Startgröße erhalten.
Nicht aufgepasst, 2^0 ist natürlich 1. Kurze Unaufmerksamkeit. Hab's direkt korrigiert :-)
A(2/20) ; B(4/80)
80 = a * b^4
20 = a * b^2
=> 4 = b^2 => b = 2 (-2 unzulässig)
20 = a * 4
5=a
f(t) = 5*2^t
f(0) und f(11/2) auswerten
Abgesehen davon, dass das Höhenwachstum nicht exponentiell erfolgt, hier ein paar Gedanken:
Innerhalb von 2 Wochen hat sich die Höhe vervierfacht, also verdoppelt sich die Höhe jede Woche.
Zu Woche 2 war sie 20 cm hoch, also war sie in Woche Null 5 cm hoch.
5 cm * 2^ Wochen = Höhe
5 cm *2^ 5,5 = 2,26 m
Nach einem halben Jahr wäre sie über 3000 km lang und nach einem Jahr würde sie über 1000 mal um die Erde reichen.(siehe mein erster Satz oben).
Danke!