Hilfe bei einer Matheaufgabe?
Ich sitze seit einer Ewigkeit an einer Matheaufgabe die ich einfach nicht richtig lösen kann. Wie kann ich die richtigen Werte für die Variablen finden und wie stelle ich fest wie viele Möglichkeiten es für a,b und c gibt?
Edit das Ergebnis muss ganzzahlig und positiv sein.
Gibt es weitere Bedingungen, z.B. nur ganzzahlige Lösungen gesucht?
Ganzzahlig und positiv
5 Antworten
aus 2a/(2+a) = 3b/(3+b) folgt
2a(3+b) = 3b(2+a)
6a + 2ab = 6b + 3ab
6a - ab = 6b
a(6-b) = 6b
a = 6b/(6-b)
a und b müssen ganzzahlig und positiv sein.
Daher kommt für b nur infrage: 1, 2, 3, 4, 5 (bei höheren b würde der Nenner = 0 oder negativ und somit a undefiniert oder negativ)
b = 3 scheidet auch aus, da sonst in der Aufgabenstellung selbst 2b/(3+b) durch 0 dividiert würde.
EDIT: ist Quatsch. b = 3 ist erlaubt und führt auf a = 6
Probiert man die verbleibenden Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 für b durch, sieht man, dass es für 2, 3, 4 und 5 ganzzahlige Lösungen für a gibt (3, 6, 12, 30)
Nun führt man eine analoge Rechnung mit a und c durch und sieht: von diesen 3 Paaren liefert nur a= 12 und b = 4 eine ganzzahlige Lösung für c, nämlich 3
Somit ist dies auch die einzige Lösung
Es gibt nicht einen richtigen Wert für die Variablen, aber du kannst das Verhältnis von a zu b zu c herausfinden.
Teile dafür die Gleichung in zwei Gleichungen aufteilen. Ich würde es erstmal so machen:
(2a) / (2 + a) = (3b) / (3+ b)
und (3b) / (3+ b) = (4c) / (4 + c)
Dann fängst du an die Gleichungen umstellen. Ich zeige es die für die erste Gleichung, damit du das Prinzip verstehst für das Verhältnis von b und c wirst du es selber machen müssen.
(2a) / (2 + a) = (3b) / (3+ b) | * (2 + a)
2a = [(3b) / (3+ b)] * (2 + a) | * (3 + b)
2a * (3 + b) = 3b x (2+a) | Klammer auflösen
6a + 2ab = 6b + 3ab | - 2ab
6a = 6b + ab | /6
a = b + ab / 6
Wenn du jetzt einen Wert für b aussuchtst, kannst du a ganz einfach bestimmen. Wenn du die zweite Gleichung auch noch auflöst, kannst du auch noch die Frage für c bewerten.
Die Möglichkeiten für a, b und c sind theorethisch unendlich. Allerdings musst du beachten, dass du niemals durch null teilen darfst. Wenn also (2+a) = 0 ergibt, ist die Lösung nicht möglich, das gleiche gilt auch noch für (3+b) = 0 und (4+c) = 0.
Wenn du weißt, was du bei a nicht einsetzen darfst, kannst du damit berechnen, was bei dem unmöglichen a-Wert der b und der c-Wert wären. Die dürfen dann natürlich bei b und c ebenfalls nicht eingesetzt werden.
Gleichheit liegt vor, wenn man die Koeffizienten und die Variablen von 2 Termen tauscht und anschließend prüft, ob das auch für den dritten Term gilt:
z.B.
3 * 4 / (3 + 4) = 4 * 3 / (4 + 3) = 12 / 7
12 / 7 = 2 * a / (2 + a)
24 + 12 * a = 14 * a
a = 12
Folglich ist eine Lösung a = 12, b = 4, c = 3
Die beiden anderen Varianten dieser Art führen zu keinen ganzzahligen Lösungen.
Damit ist eine Lösung gefunden, aber noch nicht die Frage beantwortet, ob es die einzige Lösung ist.
mit a=b=c=0 ist es radikal einfach: 0 durch 2 oder 3 oder 4 ist und bleibt 0
alles darüber hat verschiedene Größen für a b und c, wobei halt eine aufgelöste Variable dann die anderen 2 Variablen beeinflusst.
als Beispiel nimm a=2
2*2/2+2 ist offensichtlich 4/4 =1
nun macht mit b weiter
1= 3b/(3+b) | *(3+b)
nun landest bei
3+b=3b | -b
3=2b | :2 und schon erkennst
b= 1,5
dasselbe machst nun mit c und landest später bei
4c=4+c | -c
3c=4 | :3
c=1,333333
wenn a=2 ist, muss b =1,5 und c =1,33333 gelten. ändere eine der Variablen im Wert und die jeweils anderen passen sich an.
da gibt es also nicht DIE eine Lösung, sofern du nicht noch andere Bedingungen hast in der Aufgabe.
Ich hab vergessen zu erwähnen, dass die Lösung(en) für die Variablen ganze Zahlen sein müssen. Und positiv.
versuch mal den 1. mit dem 2. und überkreuz malnehmen, dann 1. mit 3. und dann 2. mit 3.
dann Klammern lösen und Gleichungssystem lösen.
2a(3+b) = 3b(2+a)
usw
einfach mal durchrechnen...
2a(3+b) ergibt 6a+2ab
3b(2+a) ergibt 6b+3ab
nun soll also gelten
6a+2ab=6b+3ab | -2ab
6a=6b+a*b
schön und gut, nur gibt die Gleichung keine exakte Lösung her ?
bitte gerne auflösen, wer mag :)