Herleitung Teilbarkeitsregel 3?
Hallo zusammen,
im Matheunterricht haben wir heute alte Regeln wiederholt, darunter auch die Teilbarkeitsregeln. Bei 3 und 9 ist es ja so, dass Zahlen durch 3 oder 9 teilbar sind wenn die Quersumme durch 3 oder 9 teilbar ist. Ich weiß allerdings nicht mehr warum das so ist und würde gerne wissen, ob es dazu eine Art Herleitung oder ähnliches gibt!
Danke im Voraus und LG
Jakob
2 Antworten
Ich demonstriere es Mal für eine dreistellige Zahl 100*a + 10* b + c.
Es gilt: 100 = 99+1, sowie 10 = 9+1
Du kannst die Zahl also darstellen als:
(99+1)*a+(9+1)*b+c = (99*a+9*b)+a+b+c
99*a+9*b ist immer durch 3 bzw durch 9 teilbar (da a, b und c ganzzahlig sind).
Die Zahl ist also genau dann wenn durch 3 bzw 9 teilbar, wenn a+b+c durch 3 bzw durch 9 teilbar ist.
Bei Zahlen mit mehr stellen funktioniert es genauso, denn 10^n-1 ist immer durch 9 teilbar.
Tipp: Du beweist durch vollständige Induktion, das alle 10er Potenzen (1, 10, 100, 1.000, 10.000 usw.) bei Division duch 9 (oder 3) den Rest 1 haben. Dann kannst Du zeigen, dass die Quersumme bei Division durch 9 (oder 3) den gleichen Rest hat wie die Originalzahl.