Herleitung / Beweis Gaußverfahren?
Guten Morgen,
hat jemand eine Quelle / Pdf zur Herleitung des Gaußverfahrens zur lösung lgs?
Vielen Dank
2 Antworten
Das kann man sich sehr leicht selbst klar machen.
Überlege dir, was die elementaren Umformungen einer Matrix, d.h.
- Addieren zweier Zeilen
- Vertauschen zweier Spalten oder Zeilen
- Multiplizieren einer Zeile mit einem Skalar ungleich 0
für das dahinterliegende Gleichungssystem bedeuten.
Zum Beispiel: Vertauschen zweier Spalten entspricht dem Vertauschen zweier Gleichungen. Da die Reihenfolge der Gleichungen nichts an der Lösungsmenge des Gleichungssystem ändert, ist das Vertauschen zweier Zeilen erlaubt.
Dann überleg dir, was es für das Gleichungssystem bedeutet, wenn eine Matrix in Dreiecksform ist.
Schließlich mach dir klar, warum das Gauß-Verfahren funktioniert: Solange elementar umformen, bis die Matrix in Dreiecksgestalt ist. Das ist klar, wenn dir bewusst ist, dass die elementaren Umformungen nichts an der Lösungsmenge ändern.
Eigentlich findest du doch hier alles, was man sinnvolles dazu sagen kann: https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren
Was bezeichnest du als "Herleitung"? Sowie man die Matrix auf Dreiecksform gebracht hat, ist das iterative Einsetzen ja trivial. Dass man den Wert einzelner Zeilen mit einer Konstanten multiplizieren darf, ist auch elementare Mathematik. Dass das addieren zweier Zeilen das Ergebnis nicht ändert, braucht wohl eine Erklärung.