Frage von AnonyJS, 28

Lösungsansatz für die Herleitung der Cramerschen Regel/Regel von Sarrus 3x3 LGS?

Die Cramersche Regel eines quadratischen LGS (2x2) habe ich bereits hergeleitet. Doch wie gehe ich bei 3x3 vor? Mein Lösungsansatz:

-l+2*ll-lll

Natürlich noch das entsprechende dazu multiplizieren. Aber mit dem Faktor 2 komme ich dann später nicht mehr klar. Könnte man mit diesem Lösungsansatz aber auf die Cramersche Regel für 3x3 kommen? Wenn nicht, könnte mir jemand einen Lösungsansatz geben?

Antwort
von Roach5, 13

Ich denke, das Gleichungssystem allgemein zu lösen ist sehr umständlich, du solltest lieber die allgemeine Cramersche Regel für beliebiges n herleiten, die nur mit der Definition der Determinante klarkommt. Ich würde es dir gerne selbst beweisen, aber da gutefrage.net immernoch kein LaTeX/MathJax für Mathematische Textformatierung eingefügt hat, werde ich einen Teufel tun, jetzt hier Matrizengleichungen reinzuquetschen:

http://www.maa.org/sites/default/files/FriedbergCMJ8856696.pdf

Beweis ist sehr kurz und sehr elegant, aber dafür nicht sehr intuitiv.

Die Regel von Sarrus lässt sich sehr einfach herleiten, wenn du die Leibniz-formel der Determinante kennst (und verstehst). Die symmetrische Gruppe S3 hat genau 6 Elemente, die dir jeden Summanden geben, drei davon sind ungerade Permutationen und drei sind gerade, diese entsprechen den negativen bzw. positiven Summanden in der Sarrus-darstellung.

LG

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