Habe ich diese Integration durch Substitution aufgabe richtig gelöst?
Hallo, habe mir selbst eben eine Aufgabe ausgedacht und diese nach diesem Substitutionsprinzip gerechnet.
Ich wollte fragen, ob dies so stimmt, da ich keine Lösungen dazu habe.
die hässlichen Zahlen, sollen immer 7er sein.🙈 habe mich dort leider verschrieben gehabt:)
3 Antworten
Hallo,
sieht gut aus.
Du solltest nur die Integrationskonstante +C dazuschreiben; ansonsten hättest Du nur eine von unendlich vielen möglichen Stammfunktionen gefunden.
Die Stammfunktion F(x) ist die Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt.
Da beim Ableiten eine Konstante, die nicht mit einer Variablen verbunden ist, verschwindet, kannst Du nicht wissen, ob da vorher eine gestanden hat.
So ist die Ableitung von f(x)=x² f'(x)=2x.
Aber auch die Ableitung von f(x)=x²+3 lautet f'(x)=2x, weil die 3 beim Ableiten verschwindet.
Ebenso f(x)=x²-1200,25478 ergibt abgeleitet 2x.
Wenn Du also nur die Ableitung f'(x)=2x hast, kannst Du nicht wissen, ob da ursprünglich nur f(x)=x² stand oder f(x)=x²+3 oder f(x)=x²-5 oder was auch immer.
Deswegen fügt man beim Integrieren die Konstante C an.
f(x)=x²; F(x)=x²+C, wobei C irgendeine reelle Zahl sein kann oder irgendetwas anderes, das nicht mit x zusammenhängt.
Wenn Du Flächen über das Integral berechnest, also F(b)-F(a), hebt sich das C wieder auf, weil es einmal addiert und einmal subtrahiert wird.
Manchmal kann dieses C aber doch eine Rolle spielen, zum Beispiel, wenn Du zeigen sollst, daß irgendeine Funktion Stammfunktion einer anderen Funktion sein soll. Du könntest ja beim Integrieren auf eine andere Stammfunktion kommen, die sich aber letztlich von der vorgegebenen nur durch diese Konstante unterscheidet.
Wenn Du diese vergessen hast, könntest Du dann denken, daß Dein Ergebnis falsch wäre, was gar nicht der Fall sein muß.
Wenn Du prüfen willst, ob Du richtig integriert hast, leite Dein Ergebnis einfach ab.
War es korrekt, landest Du wieder bei der Funktion unter dem Integral.
Herzliche Grüße,
Willy
Es gilt zumindest bei dir F'(x)=f(x).
Wenn du jetzt nicht 'nen Fehler gemacht hast, der sich praktischerweise woanders ausgeglichen hat, solltest du alles richtig haben.
Nur: Es gibt nicht "die" Stammfunktion von f, sondern unendlich viele. Richtig wäre dann F(x)=1/21 (3x²+1)⁷ + C. Je nachdem, wie pingelig dein Lehrer ist, hätte das sonst Punktabzüge geben können.
Das ist auch wieder von der Aufgabenstellung abhängig.
Wenn nach einer Stammfunktion gefragt ist, dann reicht deine Lösung. Wenn du alle Stammfunktionen berechnen sollst, dann hängst du halt noch'n C hinter.
Ergebnis stimmt
Würde aber die Formel anwenden F(x)=Integral(f(z)*dz*1/z´)
is übersichtlicher
F8x)=Int.(2*x*(3*x²+1)⁶*dx)=2*Int.(x*(3*x²+1)⁶*dx=
Konstantenregel F(x)=Int.(a*f(x)*dx)=a*Int.(f(x)*dx)
Substitution (ersetzen) z=3*x²+1 abgeleitet z´=dz/dx=6*x ergibt dx=dz/(6*x)
eingesetzt
F(x)=2*Int.(x/(6*x)*z⁶*dz)=2/6*Int.(1*z⁶*dz)=1/3*z^(6+1)*1/(6+1)+C
F(x)=1/21*(3*x²+1)⁷+C
Hinweis: Die Integration durch die Substitution funktioniert hier nur,weil sich das übriggebliebene x aufhebt x/x=1 die 1 kann man weglassen
Hinweis:konstanten immer zuerst vor das Integralzeichen ziehen,wegen der Übersichtlichkeit
Kurze Frage, zu einer anderen Aufgabe, wäre super wenn du das wüsstest,
und zwar möchte ich die Funktion (x^2)/2 aufleiten... tue mich hierbei nun aber schwer, da ich gerade nicht sicher bin wie ich diese zwei aus dem Nenner bekomme.
wie müsste ich das machen?🙈