Gruppe bilden aus Matrizen?

Hättet ihr die Aufgabe:

Auch so gelöst?:

Answer 1

[MagicalGrill]

Ich hätte vermutlich B² berechnet, da die Gruppe abgeschlossen unter Matrixmultiplikation sein muss und mir Multiplikation einfacher fällt als Inversion. Dein Weg ist aber nicht schlechter.

Answer 2

[mihisu]

Ich hätte erkannt, dass es sich bei B um eine Drehmatrix handelt, welche eine Drehung mit 1/3 Vollwinkel (= 120° = 2π/3) als Drehwinkel um die z-Achse beschreibt):

$B = \begin{pmatrix}\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) & -\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) & 0 \\ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) & \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Bei A handelt es sich um die 3×3-Einheitsmatrix (quasi eine Drehmatrix mit Drehwinkel 0), welche das neutrale Element der Gruppe ist.

Offensichtlich erhält man zusammen mit der Drehmatrix mit Drehwinkel 2/3 Vollwinkel (= 240° = 4π/3) bzw. äquivalent mit Drehwinkel -1/3 Vollwinkel (= -120° = -2π/3) um die z-Achse eine Gruppe. (Die Matrizen decken dann offensichtlich alle Drehungen mit Vielfachen von 1/3 Vollwinkel als Drehwinkel um die z-Achse ab.)

Also:

$C = \begin{pmatrix}\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) & -\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) & 0 \\ \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) & \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

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Direkt danach, fast im gleichen Moment, ist mir auch der folgende Lösungsansatz eingefallen:

Betrachte die von A und B erzeugte Gruppe ⟨A, B⟩. Da A offensichtlich als Einheitsmatrix das neutrale Element der Gruppe ist, ist ⟨A, B⟩ = ⟨B⟩. Die Gruppe ist also zyklisch von B erzeugt, sodass also gilt:

$\left\langle A, B\right\rangle = \left\langle B\right\rangle= \left\lbrace B^k \middle| k\in\mathbb{Z}\right\rbrace$

Bzw. legt die Aufgabenstellung, die Vermutung nahe, dass die Gruppe endlich mit Ordnung 3 ist, sodass dann

$\left\langle A, B\right\rangle = \left\langle B\right\rangle= \left\lbrace \underbrace{B^0}_{=A}, \underbrace{B^1}_{=B}, B^2\right\rbrace$

ist und es sich bei B² um die gesuchte Matrix C handelt. Demnach hätte ich B² berechnet...

[Die letzte Formel habe ich als Bild eingefügt, da gutefrage.net sonst meckert, dass die Antwort zu viele Zeichen enthält.]

[Wenn man zur Kontrolle noch B³ = B² ⋅ B = ... berechnen würde, würde man feststellen, dass B³ wieder die Einheitsmatrix ist. Damit hätte man dann gezeigt, dass ⟨B⟩ Ordnung 3 hat, also tatsächlich ⟨B⟩ = {A, B, B²} ist, womit dann B² die gesuchte Matrix C ist.]

Comments

[mihisu]

Bemerkung: Ich hatte versehentlich zuerst beim lesen der Aufgabenstellung die Vorzeichen vor sqrt(3)/2 verwechselt, was dazu geführt hatte, dass bei meiner Lösung B und C vertauscht waren. Das habe ich nun entsprechend korrigiert/angepasst.