Gilt diese Mengengleichheit?
(A x B) ∩ (B x A) =A x A.
x bezeichne dabei das kartesische Produkt.
3 Antworten
Du kannst das komponentenweise prüfen, für Gleichheit müsste gelten
A ∩ B = A und B ∩ A = A (was natürlich das gleiche ist).
Das geht nur dann, wenn A eine Teilmenge von B ist.
Du hängst hartnäckig an dieser Frage, auch in den Kommentaren zu den anderen Antworten. Man könnte meinen, es fehlt dir das grundlegende Verständnis des kartesischen Produkts zweier Mengen. Du schneidest in jeder Komponente zwei Mengen A und B die a priori nichts miteinander gemein haben müssen. Was soll denn da rauskommen?
Enthalte A die Elemente a1, a2, a3 usw und analog B die Elemente b1 usw
Dann ist (A x B) ∩ (B x A) die leere Menge.
Aber ist dann (A x B) ∩ (B x A) zumindest eine Teilmenge von A X A?
Versuche es selbst zu zeigen / zu widerlegen, indem du mit den Definitionen arbeitest. Also: nimm an, dass (x,y) in deiner Menge ist, und Versuche dann daraus zu folgern, dass (x,y) in AxA liegen muss. Falls das nicht möglich ist, musst du ein Gegenbeispiel finden.
Du solltest in der Lage sein, sowas selbständig zu machen, da diese Art von Beweisen im ersten Übungszettel des Mathestudiums gemacht werden.
(a, b) wo bei a Element A und Element B und b Element A und Element B. Müsste also ne echte Teilmenge sein? Ich bin jetzt Tutor (ja, an der Uni nehmen die wirklich jeden der sich bewirbt) und muss mich nochmal damit beschäftigen.
Jedes Element aus A×B ist ein Paar, dessen erste Komponente aus A und zweite aus B kommt. Wenn A und B elementfremd ("disjunkt") sind, kann es keine Paare geben, die sowohl in A×B als auch in B×A sind, daher ist (A x B) ∩ (B x A) leer. Bei jedem Element aus A×A kommen beide Komponenten aus A.
Die leere Menge ist Teilmenge jeder anderen Menge. Das ist nichts Besonderes.
Ich bin jetzt Tutor (ja, an der Uni nehmen die wirklich jeden der sich bewirbt) und muss mich nochmal damit beschäftigen.
Besser ist das.
Das nennt man dann wohl Fachkräftemangel.
Ja das ist mir bewusst, dass die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist, deshalb meine Frage ob (A x B) ∩ (B x A) jetzt auch ne Teilmenge von A x A oder ob man das auch widerlegen kann...
Am besten legst du dir ein paar übersichtliche Beispiele zurecht.
z.B. A = {a,b,c,d,e,f,g,h} und B= {1,2,3,4,5,6,7,8} Dann sind in AxB die 64 Felder des Schachbretts a1, e2, h8 usw., BxA sind ebenfalls 64 Elemente aber umgekehrt aufgeschrieben (1a, 2e, 8h ...), also zu AxB elementfremd.(A x B) ∩ (B x A) ist dann leer.
Wenn A ⊆ B ist, ist es anders. Z.B. A= {1,2,3} B= {1,2,3,4,5}
Dann ist
AxB={11,12,13,14,15,21,22,23,24,25,31,32,33,34,35} und
BxA={11,12,13, 21,22,23, 31,32,33, 41,42,43,51,52,53}
(A x B) ∩ (B x A) = {11,12,13,21,22,23,31,32,33} ⊆ AxA Hier gilt sogar Gleichheit.
Jetzt musst du dir überlegen und ggf. beweisen, ob das nur ein geschickt ausgesuchtes Beispiel ist oder ob das immer so sein muss.
A×B={(x; y): x∈A∧y∈B}
Arbeite mit dieser Definition
Für die Widerlegung genügt ein einziges Gegenbeispiel
Aber ist dann (A x B) ∩ (B x A) zumindest eine Teilmenge von A X A?