Gesucht sind alle mögliche Werte von k.?

Die drei Zahlen x,z und y, die nicht alle gleich sind erfüllen folgende Beziehung:

(xy+1)/y = (yz+1)/z= (xz+1)/x= k

Gesucht sind alle möglichen Werte für k

k=R

Answer 1

[LoverOfPi]

Nunja. Es wird nicht die schönste Lösung, aber eine funktionierende. Sicher geht es schöner.

Wir betrachten zuerst:

$\frac{xy+1}{y}=\frac{zx+1}{x}$ $\frac{xy+1}{y}=\frac{yz+1}{z}$ Und setzen z=z als freie Variable, dann erhalten wir:

$1.\ x+\frac{1}{y}=\frac{zx+1}{x}\Leftrightarrow\ y=\frac{1}{\frac{zx+1}{x}-x}=\frac{x}{zx+1-x^2}$ $2.\ \frac{zx+1}{x}=\frac{\frac{x}{zx+1-x^2}\cdot z+1}{z}=\frac{x}{zx+1-x^2}+\frac{1}{z}$ Jetzt kann man das relativ kompliziert berechnen und bekommt

$x=-\frac{1}{z+1}\ oder\ x=-\frac{1}{z-1}$

Hier kommt zusätzlich auch x=z raus, was ausgeschlossen wird, da daraus x=z=y folgt, was nicht sein darf.

Setzt man das nun in die Gleichung von y ein, erhält man:

$Wenn\ x=-\frac{1}{z+1}\ \rightarrow\ y=-\frac{z+1}{z},\ x=-\frac{1}{z-1}\rightarrow\ y=\frac{z-1}{z}$ -> k=+-1

Sonst ist x=y=z.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester