Frage von aslanyav, 46

Gegeben ist die asymptote y= -1,5x der hyperbel. Wie kann man alle Tangenten die parallel zu dieser Asymptote sind herausfinden?

Meine Annahme ist, dass man einfach ein d braucht um die tangenten angeben zu können, also zb y = -1,5x + 1

Antwort
von eddiefox, 8

blau = Graph einer Funktion

rot = Tangente des Graphen der Funktion für x = -1,5

grün keine Tangente des Graphen

Antwort
von eddiefox, 3

Schau mal hier: (Bild ist aus Wikipedia)

Da siehst du beide Asymptoten und beide Wurzeln, + und -.

Da sieht man doch schon, dass die Tangentensteigung nie an die Steigung der Asymptote rankommt.

Ich verstehe gerade nicht, woran du haperst.

Wenn man ableitet, braucht man eine Funktion, d.h. man muss sich für einen der beiden Äste der Wurzelfunktion entscheiden. Weil man für einen x-Wert nur genau EINEN y-Wert haben kann, nicht zwei.

Aber das ist für das Problem mit der Tangente unwesentlich.

Kommentar von eddiefox ,

Lass es dir mal durch den Kopf gehen. Ich mache jetzt Feierabend.

Machs gut.

Antwort
von eddiefox, 14

Hallo,

die zu der Asymptote gehörige Hyperbel lautet h(x) = -(3/2)sqrt(x²-4) .

Du suchst Tangenten die zur Geraden y = -(3/2)x parallel sind.

D.h. Du suchst die x für die gilt: h'(x) = -3/2, denn h'(x) ist ja der Steigungskoeffizient der Tangente der Hyperbel an der Stelle x und -3/2 ist der Steigungskoeffizient der Asymptote.

(Zwei Geraden sind parallel wenn ihr Steigungskoeffizient übereinstimmt)

Wenn Du die Gleichung h'(x) = -3/2 zu lösen versuchst, kommst Du auf einen Widerspruch (x² = x²  - 4). Es gibt kein x für das die Tangente der Hyperbel zu ihrer Asymptote parallel ist.

Dabei habe ich mich auf das Kapitel "Hyperbel in erster Hauptlage" von Wikipedia bezogen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel\_%28Mathematik%29#Hyperbel\_in\_1.\_Haupt...

Hyperbelgleichung nach y aufgelöst: y = - b sqrt(x²/a² - 1) = h(x)

Asymptote: y = - (b/a)x .

In deinem Fall sind b = 3 und a = 2.

Die Gleichung der Hyperbel lautet x²/a² - y²/b² = 1

Grüsse

P.S. Wenn man sich die Zeichnung der Hyperbeln und ihrer Asymptoten anschaut, dann sieht man auch, dass keine ihrer Tangenten parallel zur Asymptote sind.

Kommentar von aslanyav ,

Ja aber wenn die asymptote y = -3/2x ist und durch den ursprung geht, dann ist eine gerade die ein d besitzt, zb y = -3/2x - 1 ja parallel zur asymptote und schneidet die hyperbel in 1 punkt

Kommentar von eddiefox ,

Ja, es ist richtig, dass die Geraden y = -(3/2)x und y = -(3/2)x - 1 parallel sind. Nur ist die Gerade y = -(3/2)x - 1 keine Tangente der  Hyperbel.

Kommentar von aslanyav ,

Wenn man y in die hyperbel einsetzt kommt ein punkt als schnittpunkt raus, also ist es doch eine tangente

Kommentar von eddiefox ,

Du verwechselst da was.

Eine Tangente t einer Funktion f bezüglich der Abszisse x0 ist eine Gerade, die den Graphen der Funktion im Punkt (x0; f(x0)) berührt (nicht schneidet).

Deine Argumentation ist folgende: Ich habe eine Gerade die einen Schnittpunkt mit der Hyperbel hat. Das mag ja sein, aber das ist nicht die Definition einer Tangente.

Kommentar von aslanyav ,

Ja schon, aber bei einer hyperbel wird die tangente auch als eine gerade die die hyperbel genau in 1 punkt schneidet definiert

Kommentar von aslanyav ,

Habe mich vertan, stimmt alles was Sie gesagt haben! Dankeschön

Kommentar von eddiefox ,

Wir haben gerade gleichzeitig unsere letzte Nachricht abgeschickt.

Siehe unten noch mein Bild. Aber schön dass wir es noch geschafft haben! Gerne und Grüsse :)

Kommentar von aslanyav ,

Aber wie löst man die gleichung h'(x)?

Kommentar von aslanyav ,

Was bedeutet dieses sqrt?

Kommentar von aslanyav ,

Hab es verstanden 😅

Kommentar von aslanyav ,

Dieses sqrt verwirrt

Kommentar von eddiefox ,

sqrt = squareroot = Quadratwurzel

Unten bringe ich eine Rechnung mit der Ableitung.

Antwort
von eddiefox, 3

Ableitung von h und Gleichung...

(... also am Ende steht 0 = -4 ) und das ist halt nicht so gut ;-)

Kommentar von aslanyav ,

Wenn man die wurzel zieht von 9/4 kommt doch +3/2 raus und nicht minus wie bei dem bild

Kommentar von eddiefox ,

Ich zieh doch gar keine Wurzel, ich quadriere (am Ende)!?

Meinst du die Berechnung von h'(x) ?

Kommentar von aslanyav ,

Nein ich meine am anfang also wo Sie auf y umformen bei der hyperbelgleichung. Unter der wurzel steht ja dann sqrt(9/4*(x^2-16)) und wenn man von 9/4 die wurzel zieht kommt ja 3/2 raus

Kommentar von eddiefox ,

Meinst du ganz oben?

Kommentar von aslanyav ,

Ja

Kommentar von eddiefox ,

Ich verstehe nicht, was du meinst. Meinst du diese Zeile:

die zu der Asymptote gehörige Hyperbel lautet h(x) = -(3/2)sqrt(x²-4)

Kommentar von aslanyav ,

Ja genau, wie kommen Sie auf die? Die allgemeine hyperbelgleicjung ist ja 9x^2 - 4y^2 = 36
Wenn Sie nun auf y umformen steht ja dann unter der wurzel (9/4(x^2-4))

Kommentar von eddiefox ,

Ich war ausgegangen von der Gleichung y = -b wurz(x²/a² - 1)

Kommentar von eddiefox ,

Hm, klappt aber auch mit deiner Gleichung:

9x² - 4y² = 36 <=> 4y² = 9x² - 36 <=> y² = (9/4)(x² - (4*9)/4)

y² = 9/4(x² - 4) = 9/4(x² - 4), also y = +- 3/2 wurz(x² - 4) 

Kommentar von aslanyav ,

Ja aber wenn sie b^2 herausheben und die wurzel ziehen kommt ja sowohl +b als auch -b raus

Kommentar von eddiefox ,

Das ist richtig. Man muss sich dann erstmal für einen von beiden entscheiden, sonst hat man keine Funktion. (siehe +- in meiner Rechnung, jetzt gerade)

Wir können das ganze Spiel auch mit der positiven Wurzel machen.

Aber dann ist y = -(3/2)x erst recht keine Tangente.

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