Gab es fundamentale Irrtümer in der Geschichte der Mathematik?
Schaut man sich die Geschichte der Naturwissenschaften an, ist sie voller Irrungen und Wirrungen: Z. B. die Suche nach dem Aether als Medium elektromagnetischer Welle oder das Phlogiston, das dem Stoff durch Verbrennen ausgetrieben wird.
Wie ist das aber in der Mathematik: gab es da auch solche fundamentalen Irrwege, die man erst später schmerzlich als solche erkannt hat? Oder ist die Mathematik aufgrund ihrer strengen Beweislogik davor gefeit?
7 Antworten
Hallo,
gab es da auch solche fundamentalen Irrwege
Oh man kann sich kaum davor retten! Ein Satz: Jede Menge!
Ein einfaches Beispiel ist das von Gottlob Frege und seine Begriffsschrift: Frege wollte die Mathematik, ganz nach David Hilberts Wunsch auf ein vollständiges, sicheres Logikgerüst aufbauen, in dem man alles allein durch Kombination von logischen Ausdrücken beweisen oder widerlegen kann. Dass dies nicht funktionieren kann, hat ihm Berntrand Russel in einem pesönlichen Brief praktisch klar gemacht. Daraufhin war Frege ein gebrochener Mann.
Ein weiterer großer Irrtümer entstand, als man folgenden Sachverhalt betrachtete: f(x)=1/x² sei eine reelle Funktion und die Frage ist, ob das uneigentliche Integral dieser Funktion von 1 bis +oo existiert und welchen Wert es hat. Man bekommt schnell heraus, dass der Wert endlich groß ist. Läßt man diesen Funktionsgraphen um 2Ti rotieren, so erhält man einen Kelch, der einen Flächeninhalt von 2Ti hat. Untersucht man nun die Funktion g(x)=1/x und integriert diese nach dem gleichen Schema von 1 bis +oo, so erhält man +oo als Wert. Man hat also einen Kelch, der ein endliches Volumen, aber eine unendlich große Oberfläche hat. Man hat einfach nicht verstanden, warum das so ist.
Der nächste große Irrtümer wurde von Kurt Gödel aufgedeckt: Dieser hat sich ebenfalls mit Logik beschäftigt und entgültig David Hilberts Traum von der mechanisch beweisbaren Mathematik platzen lassen. Er formulierte den Gödelschen Unvollständigkeitssatz welcher besagt, dass sich ein System nicht auf Vollständigkeit oder Widersprüchlichkeit überprüfen kann.
Ein weiteres Problem ist eines aus der Topologie: Betrachte zum Beispiel die IR²-Ebene und stell dir eine geschlossene, doppelpunktfreie Kurve vor, welche beschränkt ist. Dann teilt diese (sogenannte Jordankurve) die Ebene in eine beschränkte und eine unbeschränkte Teilmenge auf. Ca. 100 Jahre wurde diese so trivial klingende Aussage als völlig selbstverständlich hingenommen, bevor Jemand auf die Idee kam, mal "kurz" zu überprüfen, ob sie denn stimmt. Dieses "Kurz" hat ca. 100 Jahre gedauert, bis man es endlich geschafft hat! Kein mathematischer Irrtümer, aber ein Beweis dafür, dass Mathematik manchmal trügerischer sein kann, als man sich wünscht!
Ein weiterer Irrtümer ist der, dass man in der Mathematik nicht alles beweisen kann. Dies hängt mit den von mir weiter oben bereits vorgestellten Beispielen zusammen, sollte aber extra betrachtet werden. Zum Beispiel läßt sich die Kontinuumshypothese nicht beweisen. Man kann entweder annehmen, dass sie stimmt, oder, dass sie nicht gilt. Es entstehen durch sie keine Widersprüche, aber man kann sie nicht beweisen.
Ich hoffe, das genügt dir erstmal.
Viele Grüße
Neben den schon genannten Irrtümern ist m. E. ein ganz fundamentaler derjenige der Pythagoräer, dass alles auf Verhältnissen ganzer Zahlen beruhe (also dass es nur rationale Zahlen gebe). Das ging (angeblich) sogar so weit, dass Pythagoras einen seiner Schüler töten ließ, der die Irrationalität von Wurzel(2) erkannte und verbreiten wollte.
Vermutlich Hippasos von Metapont, aber laut Wiki: "...aus deren Gemeinschaft ausgeschlossen und verunglückte später tödlich im Meer, was als göttliche Strafe gedeutet wurde..." -> aber interessant und ein gutes Beispiel
Auch wenn es für die "hilfreichste Antwort" zu spät ist, möchte ich auf eine Liste mit über 21 Irrtümern hinweisen: http://www.gerdlamprecht.de/Liste_der_von_Menschen_begangenen_Fehler.htm
Es gab vereinzelt durchaus fehlerhafte Beweise, bei denen der Fehler erst später gefunden wurde.
Viel häufiger sind aber sogenannte Vermutungen, die irgendwann widerlegt wurden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_(Mathematik)
(Bitte den ganzen Link kopieren, nicht nur das Blaue!)
Wenn man sich jeden einzelnen Schüler anguckt, findet man haufenweise Irrtümer (Spaß) :)
Ich denke schon, dass es einige kleine Irrtümer gab, aber nichts fundamentales, da die Mathematik sehr akribisch ist und sie auf strengen und aussagekräftigen Regeln beruht. (Im Prinzip stützt sich jedes Gesetz auf bereits vorhandene Gesetze, diese werden Bewiesen von anderen Gesetzen (eventuell noch ein paar Axiome dazwischen, weil man sich nicht einigen konnte), am Ende kommt man auf das einfache Axiom 1 + 1 = 2
Heißt im Prinzip: Alles was in der Mathematik als korrekt und bewiesen angenommen wird, ist dies auch. Der einzige wirkliche "Irrtum", der in der Mathematik passieren kann, sind Rechenfehler.
da die Mathematik sehr akribisch ist und sie auf strengen und aussagekräftigen Regeln beruht.
Gerade diese strengen Regeln verführen manchmal die Mathematiker, weil sie in die Situation versetzt werden, dass zb. alles lösbar erscheint.
Der einzige wirkliche "Irrtum", der in der Mathematik passieren kann, sind Rechenfehler.
Das stimmt so nicht.
Der einzige wirkliche "Irrtum", der in der Mathematik passieren kann, sind Rechenfehler.
Eben nicht! Beispiel sind die vielen falschen Algorithmen für die Berechnung der Zahl Pi in über 1000 Jahren!
Viele sind bis heute nicht bewiesen und echte Wissenschaftler rechnen parallel immer eine "Validierungsrechnung" mit (anderer Algorithmus und Vergleich der Stellen meist Hexadezimal)!
Es wurde bei einem Algorithmus festgestellt, dass die Konstante zwar mit über 18000 Stellen mit Pi übereinstimmt, aber danach andere Ziffern -> also eine andere Konstante!
Es muss natürlich "Volumen" heißen ;)