Funktionsschaaren HILFE 😭
Die Frage: Ein runder Springbrunnen enthält mehrere, im Kreis um die Mitte angeordnete schräge Fontänen. Wir modellieren eine der Fontänen (für die anderen gilt wegen der Symmetrie das Gleiche) durch die Funktionsschar fc mit fc=ax^2 +(5-2a)x + (a-5). Dabei hängt der Parameter a vom Wasserdruck ab. Alle Einheiten sind Meter.
a) Wie weit von der Kreismitte (y-Achse) entfernt sprudelt die Fontäne aus dem Brunnen? (Nullstellen berechnen kann ich eigentlich nur klappts irgendwie nicht) b) Welchen Winkel bilder das Rohr zur Horizontalen? c) Der Rand des Brunnens ist 7m von der Mitte entfernt. i) In welchem Bereich darf sich a bewegen, damit das Wasser maximal 6m von der Brunnenmitte entfernt wieder landet? ii) Wie hoch ist die Fontäne dann? d) Entlang welcher Kurve bewegt sich das Maximum der Fontäne, wenn man das Wasser langsam aufdreht?
Danke für alle Antworten! Ich verzweifle!
2 Antworten
f(x) =ax^2 +(5-2a)x + (a-5).
a) Wie weit von der Kreismitte (y-Achse) entfernt sprudelt die Fontäne aus dem Brunnen?
ax² +(5-2a)x + (a-5) = 0
x = 1 und x = 1 - 5/a
b) Welchen Winkel bilder das Rohr zur Horizontalen?
f'a (x) = 2ax + 5 - 2a
f' (x = 1) = 2a + 5 - 2a = 5
Der Anstieg m an der Stelle 1m entspricht der Ortsableitung sowie den Tangens des Steigungswinkels α
m = f ´a(x = 1) = tan(α) = > tan(α) = 5 => α = 78,7°
c) Der Rand des Brunnens ist 7m von der Mitte entfernt.
Maximal 6 m entfernt von Mitte: fa(x = 6) = 0
i) In welchem Bereich darf sich a bewegen, damit das Wasser maximal 6m von der Brunnenmitte entfernt wieder landet?
f (x = 6) = 36a +(5-2a)6 + (a-5) = 0 =>36a +30 -12a + a - 5 = 0 => a = -1
Für -1 < a < 0 wird die nach unten geöffnete Parabel breiter => keine Lösung
Wegen der Parabelform (nach unten geöffnet) gibt es keine Lösungen wo q positiv ist.
Für a ≤ -1 wird die Parabel schmaler und alle Parabeln haben die Nullstelle 1
ii) Wie hoch ist die Fontäne dann?
f (x) = -x ^2 (5+2)x + (-1-5) = -x ^2 + 7x - 6
Ableitung bilden: f´ - 1 (x) = -2x + 7
Nullsetzen: -2x + 7 = 0 -> x = 7/2 (2. Ableitung bilden wg. tief oder hochpunkt f'' = -2 < 0 => Hochpunkt)
x einsetzten in Gleichung: f -1 (7/2) = -(7/2)^2 + 7*7/2 - 6 = 25/4
Höhe ist 6,25 m
d) Entlang welcher Kurve bewegt sich das Maximum der Fontäne, wenn man das Wasser langsam aufdreht?
1. Ableitung von f(x) bilden
f' (x) = 2ax - 2a + 5
Nullsetzen: 2ax - 2a + 5 = 0 => x = (2a - 5)/(2a) = 1 - 5/(2a)
In f (x) einsetzen: f (x) =1 - 5/(2a)) = -25/(4a) -> allg. Max (1 - 5/(2a), -25/(4a))
Max x = 1 - 5/(2a)
Nach a auflösen a = 5/(2 - 2x) in y von Max einsetzen y = 25/(4*5/(2-2x)) = (5/2)*x - 5/2 = (5/2)*(x - 1)
a) Die Nullstellen sind x = 1 und x = 1 - 5/a
b) f '(1) = 5, also tan ß = 5
c) 1 - 5/a < 6 also a < - 1
d) f '(x) = 0 setzen.
Vielllen viiielen Dank! Aber ich bräuchte Zwischenschritte...