Frage zu Vektorrechnung (Würfelaufgabe)?
Hallo,
habe eine Mathe Aufgabe bekommen, wo ich nicht ganz weiterkomme.
Die Aufgabe lautet:
Gegeben ist der Würfel ABCDEFGH mit den Eckpunkten A(6/-6/-6), B(6/6/-6), D(-6/-6/-6) und E(6/-6/6), dessen Kanten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Weiterhin sind die Punkte P(3/-2/-1) und Q(-9/6/3) gegeben.
a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Diagonale Verktor EC.
Mein Ansatz: OM= (6/-6/6)+1/2(-12/12/-12)=(0/0/0)
Dann: Begründen Sie, dass einer der Punkte P und Q innerhalb, der andere außerhalb des Würfels liegt.
b) Die Gerade g verläuft durch die Punkte P und Q. Sie schneidet die Würfelfläche DCGH im Punkt S. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S. Untersuchen Sie, ob der Mittelpunkt des Würfels auf der Geraden g liegt.
Würde mich über Hilfe freuen.
1 Antwort
Dein Ansatz, bzw. das ist ja schon die Lösung, ist korrekt.
Nur die Aufgabenstellung danach macht irgendwie keinen Sinn... Soll das vielleicht "... außerhalb des Würfels" heißen statt "...außerhalb der Geraden g"? Weil die Gerade g soll ja in b) bestimmt werden und durch eben diese beiden Punkte P und Q gebildet werden, d. h. beide Punkte liegen logischerweise auf dieser Geraden g!?!
Bei b) musst Du also die Gerade durch P und Q aufstellen und die Fläche DCGH, d. h. (falls hier das Problem liegt) Du nimmst einen Punkt (z. B. D) als Ortsvektor und von dort zu 2 weiteren Punkten stellst Du die Spannvektoren auf. Dann musst Du die Gerade mit dieser Ebene gleichsetzen, d. h. Du hast 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Dieses Gleichungssystem nun lösen und Du hast den Schnittpunkt.
Danke für den Hinweis, ich meine natürlich außerhalb des Würfels und nicht außerhalb der Geraden!
Du kennst vier Punkte der Ebene (C, D, G und H); 3 Punkte braucht man, um eine Ebene "aufzuspannen".
So wie Du bei der Geraden mit 2 Punkten eine Gerade bildest, indem Du vom Nullpunkt zum ersten Punkt wanderst (=Ortsvektor) und von dort dann den Richtungsvektor zum zweiten Punkt ermittelst, so gehtst Du nun auch zu einem der bekannten Punkte der Ebene und ermittelst von dort die "Richtungsvektoren" (hier auch Spannvektoren genannt) zu zwei weiteren Punkten der Ebene.
also z. B. E=Ortsvektor(OD) + s * Vektor(DC) + t * Vektor(DH)
Das setzt Du nun mit der Geraden gleich und erhältst 3 Gleichungen (je eine für die x, y und z-Koordinate) mit den 3 Unbekannten r,s und t.
bei b habe ich nun die Geradengleichung g: (3/-2/-1)+r*(-12/8/4) aufgestellt. Nun weiß ich allerdings nicht, wie ich weiterrechnen soll. Woher kenne ich denn die Ebene? Ich weiß nicht, womit ich die Gersdengleichung gleichsetzen soll.