Exponentielles Wachstum (1)?
Hallo, ich verstehe diese Aufgabe überhaupt nicht, kann mir einer helfen, bitte.
Ein Kranker soll sich einer Schlafkur unterziehen. Zu Beginn erhält er zwei Tabletten, die zu einer Plasmakonzentration von 10 ug/ml führen. Nach zwei Stunden ist die Konzentration auf 8,5 ug/ml gesunken. Ist die Konzentration auf 5 ug/ml gesunken, so muss eine weitere Tablette genommen werden, um die Konzentration wieder auf den Ausgangswert zu erhöhen.
a) Wie lautet die Gleichung der Funktion, welche die Plasmakonzentration im ersten Einnahmeintervall beschreibt?
b) Welche Halbwertszeit hat das Medikament?
c) Der Patient vergisst nach der Erstdosis die Einnahme der Tablette. Wie tief sinkt die Plasmakonzentration bis zur folgenden Einnahme?
3 Antworten
Die Antworten von Melvissimo sind fast perfekt. Hier noch ein paar Ergänzungen:
Falls du die e-Funktion vielleicht noch gar nicht kennst, wäre auch
f(t) = a * b^t ein brauchbarer Ansatz. Du hast dann die Informationen
- f(0) = 10, also 10 = a * b^0, das heißt a = 10 und
- f(2) = 8,5, also 8,5 = a * b²
Mit a = 10 bedeutet das 8,5 = 10 * b²
0,85 = b²
0,85 ^(1/2) = b (also die 2te Wurzel aus 0,85 ziehen - Taschenrechner)
Aufgabe b hat Melvissiomo ja schon erläutert.
Aufgabe c ist m.E. schlampig gestellt, weil man ja gar nicht weiß, wann der Patient denn nun die nächste Tablette nimmt. Ich nehme mal an, dass die Wartezeit einfach verdoppelt wird. Bis zum ersten Einnahmezeitpunkt hat sich die Konzentration halbiert. Bis zum tatsächlichen Zeitpunkt würde sie sich dann einfach noch einmal halbieren. Damit wärst du fertig.
Aber - wie gesagt - es könnte ja auch sein, dass dem Patienten schon nach 2 Stunden einfällt, dass er die Tabletten einnehmen sollte. Das geht aus dem Text nicht hervor.
Dein eigener Ansatz bedeutet dasselbe: f(t) = c*a^t. Hier ist dann eben c = 10 und danach t = 2. Alles Weitere läuft genauso, wie ich es dir beschrieben habe.
Bei Aufgabe a) hab ich das raus f(x)=10*0,94^t ist das richtig? :)
Hallo,
die Gleichung lautet:
10*e^(2k)=8,5
10 ist der Anfangswert, die 2 ist die Zahl der Stunden, 8,5 ist der Wert nach zwei Stunden, k muß berechnet werden.
e^(2k)=8,5/10=0,85
Logarithmieren:
2k=ln (0,85)
k=0,5*ln (0,85)=-0,08125946475
Um die Halbwertzeit zu bestimmen, setzt Du nun k ein und berechnest t, die Zeit in Stunden, bis die Konzentration auf 5 ug/ml gesunken ist:
10*e^(-0,08125946475*t)=5
e^(-0,08125946475*t)=5/10=0,5
-0,08125946475*t=ln (0,5)
t=ln (0,5)/-0,08125946475=8,530048564, also etwa 8,5 Stunden.
Die Gleichung lautet:
f(t)=A*e^(-0,08125946475*t), wobei A der Anfangswert und t die Zeit in Stunden ist.
Herzliche Grüße,
Willy
Sagen wir, die Zeit, zu der der Patient die Tabletten zum ersten Mal einnimmt, ist der Zeitpunkt t = 0. Nach zwei Stunden sei der Zeitpunkt t = 2 erreicht.
a) Du suchst vermutlich eine Exponentialfunktion der Form f(t) = a * e^(kt), wobei a und k irgendwelche Zahlen sind.
Du hast die Punkte f(0) = 10 und f(2) = 8.5 gegeben. Ermittle mit diesen Gleichungen die Parameter a und k.
b) Du hast oben die Funktionsgleichung für f herausgefunden. Finde die Zeit t, für die f(t) = 1/2 * f(0) gilt.
c) Dafür brauchst du nicht mehr viel zu tun; denk selbst noch einmal scharf darüber nach ;)
was ist k? f(x)=c*a^t ich kenn nur die formel, ist das die gleiche?
Du kannst alle obigen Schritte auch ruhigen Gewissens mit der Grundformel f(t) = c * a^t durchführen. Vom Prinzip her ist das derselbe Ansatz, nur die Formel wurde etwas transformiert.
Setzt du k = ln(a), gilt nämlich c * a^t = c * e^(kt).
Der Vorteil bei seinem eigenen Ansatz ist, dass er dann nicht zu logarithmieren braucht. Es ist ja nicht sicher, ob er das überhaupt schon kann.
Stimmt, das sollte ich nicht voraussetzen. [Allerdings wüsste ich spontan nicht, wie man die Halbwertszeit ohne Logarithmus herausbekommen soll...]
Das macht man in der Schule häufig einfach durch Ausprobieren. t wird so lange verändert, bis das Ergebnis näherungsweise 0,5 beträgt. Mit den heutigen GTRs ist das ja keine Kunst mehr. Es kann aber natürlich auch sein, dass Jasmin schon logarithmieren kann. Dazu sagt sie selbst ja leider nichts.
könnte mir einer sagen ob ich das richtige heraus hab: f(x)=10*0,92^t ?
Auf 2 Stellen gerundet, kommt das hin.
Beachte aber, dass die Variable der Funktion t lautet und nicht x:
f(t) = 10 * 0,92^t.
Ich würde aber für weitere Rechnungen nicht das gerundete Ergebnis verwenden, sondern weiterhin mit a = Wurzel(0.85) rechnen, damit sich der Rundungsfehler nicht ausbreitet.
Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte des Startwerts vorhanden ist (einfach ganz wörtlich: Zu dieser Zeit hat die Konzentration nur noch den halben Wert.)
Im Zusammenhang mit exponentiellem Zerfall ist dieser Begriff ziemlich wichtig; du solltest ihn dir merken ;)
Halbwertzeit ist die Zeit, in der das Mittel auf die halbe Konzentration gesunken ist. Dein Ansatz könnte also sein
5 = 10 * (Wurzel (0,85))^t
0,5 = (wurzel (0,85))^t
Wenn du logarithmieren kannst, musst du das jetzt tun und danach die Logarithmengesetze anwenden. Wenn nicht, musst du t mit dem TR solange verändern, bis 0,5 herauskommt.
ich kann logarithmieren :) bei b) 5=10*0,92^t dann muss ich Logarithmieren oder?
Gern geschehen. Auch über dein freundliches "Danke" habe ich mich sehr gefreut. Da hilft man gleich doppelt so gern.
bitte könnt ihr mir noch mal c) erklären, ich versteh das überhaupt nicht. wie muss ich überhaupt anfangen?
Wie jairohmsford schon angemerkt hat, ist die Aufgabenstellung auch nicht sehr sauber gestellt.
Der Patient vergisst, nach der Halbwertszeit das Medikament nochmal einzunehmen. Das heißt (vermutlich), dass er nochmal die Halbwertszeit wartet, bis er das Medikament zum zweiten Mal einnimmt. D.h. die Konzentration hat die ganze Zeit abgenommen.
Das ist schlecht für den Patienten, aber gut für uns: Wir kennen ja inzwischen die Formel für die Konzentration, solange der Patient nichts tut.
Sei nun T die Halbwertszeit, die du in b) berechnet hast. Wie hoch ist der Wert der Konzentration zur Zeit 2T?
Das doppelte von T. Ich war nur zu faul, um 2 * T zu schreiben...
bei b) kam 8,53 raus. Also muss ich das so aufschreiben für c) 8,53=10*0,92^t und Logarithmieren oder?
Nein. Damit würdest du ausrechnen, zu welcher Zeit die Konzentration 8,53 μg/ml beträgt.
Du willst aber wissen, was f(2 * 8,53) ist.
Genau. Aber ich erwähne noch einmal: Rechne nicht mit den gerundeten Ergebnissen, sondern mit den exakten.
Hey ich bin gerade bei Aufg.c und denke das indem Fall 5 der Anfangswert ist. Ich weiß aber nicht wie es weiter gehen soll. Wäre toll wenn du mir helfen könntest. LG
oder f(x)=10*0,92^t