Wie soll ich das lösen?
Seien a1, . . . , a5 ∈ Z² verschiedene Punkte in der euklidischen Ebene mit ganzzahligen Koordinaten. Zeigen Sie, dass i ungleich j existieren, sodass der Mittelpunkt zwischen ai und aj auch ganzzahlige Koordinaten hat. Wie viele Punkte bräuchte für die analoge Aussage im euklidischen Raum R³
Hinweis: Schubfachprinzip.
Leider habe ich gar keine Ahnung, wie ich das Lösen soll, über einen Lösungsweg würde ich mich freuen, danke
2 Antworten
Du denkst dir einen Setzkasten mit 4 Fächern (oder eine Matrix). Die Paare ai = (ai_1, ai_2) verteilst du auf diese Fächer wie folgt:
Links oben, wenn ai_1 und ai_2 beide gerade sind
Rechts oben, wenn ai_1 gerade und ai_2 ungerade
Links unten, wenn ai_1 ungerade und ai_2 gerade
Rechts unten, wenn ai_1 und ai_2 beide ungerade sind
Du hast a1 ... a5, also 5 Paare, davon müssen mindestens 2 im gleichen Fach landen, das ist das Schubfachprinzip. Bei diesen beiden haben die erste Komponente und die zweite Komponente jeweils gleiche Parität, d.h. der Mittelwert beider ist ganz.
Gehen wir nen Schritt zurück: Angenommen du hast 3 ganze Zahlen z1, z2 und z3. Dann gibt es i ungleich j, sodass der Mittelpunkt zwischen zi und zj ebenfalls eine ganze Zahl ist.
Beweis: Der Mittelpunkt zwischen zi und zj ist (zi + zj)/2. Das ist genau dann eine ganze Zahl, wenn zi + zj gerade ist, also wenn zi und zj entweder beide gerade oder beide ungerade sind.
Schauen wir uns z1 und z2 an. Wenn sie dieselbe Parität haben (i.e. beide sind gerade oder beide sind ungerade), dann ist der Mittelpunkt zwischen beiden eine ganze Zahl und wir sind fertig.
Ansonsten ist eine der beiden Zahlen gerade und die andere ungerade. Damit haben wir aber alle Paritäten ausgeschöpft: Wenn z3 gerade ist, haben wir zwei gerade Zahlen und deren Mittelpunkt ist eine ganze Zahl. Wenn z3 ungerade ist, haben wir zwei ungerade Zahlen und deren Mittelpunkt ist eine ganze Zahl. In jedem Fall gibt es zwei verschiedene i und j, sodass zi und zj einen ganzzahligen Mittelpunkt haben.
Nun musst du dir nur noch überlegen, wie du den Beweis für Paare von ganzen Zahlen modifizieren kannst.