Ein Mathe-Rätsel (detaillierte Aufgabe unten) - wer weiß die richtige Lösung?
Eine Seerose wird in einen kleinen Teich gepflanzt. Sie hat zunächst nur ein einziges Blatt. Jeden Tag verdoppelt sich die Anzahl der Blätter (1 - 2 - 4 - 8 - 16 ....) und die Oberfläche des Teiches wird mehr und mehr bedeckt. Am 16. Tag ist exakt die Hälfte der Oberfläche bedeckt, und weil die Seerose ihre Anzahl an Blättern wieder verdoppelt, ist am 17. Tag der Teich gänzlich bedeckt.
Würde man statt einer Seerose zwei Stück pflanzen (die beide gleich stark wachsen, und sich nicht gegenseitig behindern / im Weg sind), wie viele Tage früher wäre der Teich komplett mit Blättern bedeckt?
Einfache Lösung? Komplizierte Potenzrechnung? Unlösbar...?
Bin mal auf Eure Antworten gespannt!
9 Antworten
Die Anzahl verdoppelt sich ja ständig. Daher haben zwei Seerosen an einem x-beliebigen Tag so viel Fläche eingenommen, wie eine am nächsten Tag. Wenn eine Seerose also in 17 Tagen den Teich bedeckt, bedecken zwei den Teich in 16 Tagen, also einen Tag früher.
Mathematisch:
Eine Seerose bedeckt in 17 Tagen eine Fläche von 2¹⁷ Blättern. Wenn man zwei Seerosen hat bedecken sie in 17 Tagen eine Fläche von 2×2¹⁷ Blättern. Da es aber die gleiche Fläche ist und nicht die doppelte muss man die Rechnung mit der selben Zahl dividieren, mit der man sie am Anfang multipliziert hat, also durch die Seerosenanzahl: 2×2¹⁷÷2. Vereinfacht wäre es dann 2×2¹⁶. Wenn man davon ausgeht, dass man zwei Seerosen von Anfang an hat, ist das Ergebnis 16, also einen Tag früher. 2×2¹⁶ kann man dann nochmal vereinfachen, nämlich 2¹⁷, das zeigt nochmal, dass es die gleichen Ergebnisse sind.
super erklärt! danke! - und natürlich absolut richtig! -
Der erste Tag wird übersprungen.
Das zweite Beispiel fängt sozusagen da an, wo das erste Beispiel einen Tag rum hat.
Somit benötigt das zweite Beispiel genau diesen Tag weniger.
oder: EINE Seerose schafft den halben Teich in 16 Tagen - somit schaffen 2 Seerosen in dieser Zeit den GANZEN Teich...^^
Einen Tag früher, wenn beide Seerosen jeweils den halben Teich bedecken.
Als Ansatz für dich: Zwei Seerosen mit je einem Blatt verbrauchen so viel Platz, wie eine Seerose mit zwei Blättern.
Schau, wie viele Tage es für die eine Seerose gedauert hat, bis sie zwei Blätter hatte und fang von da an zu zählen.
Du kannst dir die Rechnung wie folgt vorstellen:
n = Anzahl Tage und x = Anzahl Blätter
Für eine Rose wäre es dann:
x = 2^(n-1)
Bei zwei Rosen sieht es so aus:
x = 2 * 2^(n-1)
Nach den Potenzgesetzen werden bei Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis ,die Exponenten addiert. Somit könntest du die Gleichung vereinfachen:
x = 2^1 * 2^(n-1) = 2^(n-1 +1) = 2^(n)
Somit ist der Teich einen Tag früher bedeckt :)
Danke für deine Frage ;) solche Aufgaben helfen, den Kopf fit zu halten
hui - sogar mit Gleichung, Respekt!
Ergebnis stimmt - super!