Dynamische Masse, Ruheenergie?
Warum muss die Masse um den Betrag deltaE/c^2 steigen?
3 Antworten
Ich habe jetzt Schwierigkeiten dir das zu erklären, da auf deinen Blatt alles steht!
Dass deltaE/c^2 ist doch nur eine zusammengefasste Substitution/Abkürzung für die kinetischen Energie derTylorentwicklung der dynamischen Masse, also alle Therme, ab m * v^2/2...
Die Ruheenergie ist eben nach Einstein m * c^2, wird die Masse beschleunigt, also kinetische Energie hinzugefügt, muss sich die Masse entsprechend erhöhen (m_d). Das drückt das "+deltaE/c^2"=Ekin aus.
Schau dir einfach das Blatt genau in Ruhe noch mal an, und versuche die mathematische Herleitung/Entwicklung nachzuvollziehen.
Hallo NetterGau,
das Blatt – man kann es schlecht lesen, weil es keine gute Auflösung gibt – sagt anscheinend nicht aus, warum ein bewegter Körper überhaupt eine "dynamische Masse" bzw. Impulsmasse hat, die größer ist als seine Ruhe- oder Eigenmasse.
Die Begründung liegt im Impulserhaltungssatz. Er muss in allen Koordinatensystemen gelten. Außerdem ist die auf einen Körper wirkende Kraft die Änderungsrate seines Impulses; deshalb kann z.B. eine ausschließlich in x-Richtung wirkende Kraft keine Änderung des Impulses z.B. in y-Richtung bewirken.
Stell Dir vor, an Bord eines in x-Richtung ausgerichteten, relativ zu Dir ruhenden Raumfahrzeugs sei eine in y-Richtung ausgerichtete Schiene der Länge Δy fest installiert, auf der völlig reibungsfrei ein Gleiter der Masse m entlanggleitet und an den Enden reflektiert, sodass es in y-Richtung also die meiste Zeit entweder den 1D-Impuls p = mu (u << c) oder −p hat und die Zeit
(1) Δτ = Δy⁄u = Δy∙m⁄p
für einen Weg braucht.
Nun beschleunigt das Raumfahrzeug im x-Richtung auf die 1D-Geschwindigkeit v, von der wir nicht annehmen, dass v << c ist. Im Ruhesystem des Raumfahrzeugs braucht der Gleiter nach wie vor Δτ, in deinem jedoch
(2) Δt = γ∙Δτ := Δτ/√{1 − (v⁄c)²}
Da sich Δy und p nicht verändert haben können, muss die Masse des Gleiters von m auf mγ erhöht haben, aber wodurch? Die Antwort ist: Durch die "mitgeschleppte" kinetische Energie Eₖ. Offenbar "wiegt die was".
Jetzt kommt die Reihenentwicklung ins Spiel: Es gibt für ein x << 1 die Näherungen
(3.1) 1/(1 ± x) ≈ 1 ∓ x
(3.2) √{1 ± x} ≈ 1 ± ½x.
Deshalb ist für ein noch immer relativ kleines v⁄c auch
(4) γ ≈ 1 + ½(v⁄c)²,
Wobei der zweite Term mal m offenbar die "Masse der kinetischen Energie" des Gleiters darstellt, also ½mv²⁄c² ≈ Eₖ⁄c².
Der Gleiter soll reibungsfrei gleiten, damit er nicht langsamer wird, keinen Impuls in y-Richtung verliert.
Durch die Beschleunigung in x-Richtung entsteht eine künstliche Gravitation in negative x-Richtung, d.h., der Gleiter drückt quasi auf die Schiene. Auch diese "Gewichtskraft" soll keine Reibung erzeugen, was sie ja normalerweise tut. So soll der Impuls des Gleiters in y-Richtung von seinem zunehmenden Impuls in x-Richtung unabhängig bleiben; er ändert sich nicht.
Wenn nun das Raumschiff in x-Richtung die 1D-Geschwindigkeit v hat, ist der Impuls des Gleiters in y-Richtung immer noch derselbe, seine Geschwindigkeit in y-Richtung aber nicht, er braucht ja länger. Deshalb muss er mehr (effektive) Masse haben.
"Jetzt kommt die Reihenentwicklung ins Spiel: Es gibt für ein x << 1 die Näherungen
(3.1) 1/(1 ± x) ≈ 1 ∓ x
(3.2) √{1 ± x} ≈ 1 ± ½x." warum?
Eine Reihenentwicklung in eine Potenzreihe wird gemacht, um einen Ausdruck zu vereinfachen, leichter weiterrechnen zu können. Das lohnt sich besonders dann, wenn es sich bei den Potenzen um die einer kleine Abweichung von einer Größe handelt, weil man dann höhere Potenzen vernachlässigen kann. Zum Beispiel ist
1/(1 − x) = 1 + x + x² + x³ + …
die Geometrische Reihe. Wenn x klein genug ist, sind x², x³ usw. erst recht klein und können vernachlässigt werden.
Außerdem ist ja nach der 1. Binomischen Formel
(1 + ½x)² = 1 + 2∙½∙x + ¼x² = 1 + x + ¼x²,
... Weil Energie und Masse austauschbare Begriffe sind. E = m*c²
Also: m = E/c²
Einstein lässt grüßen ...
"Stell Dir vor, an Bord eines in x-Richtung ausgerichteten, relativ zu Dir ruhenden Raumfahrzeugs sei eine in y-Richtung ausgerichtete Schiene der Länge Δy fest installiert, auf der völlig reibungsfrei ein Gleiter der Masse m entlanggleitet und an den Enden reflektiert, sodass es in y-Richtung also die meiste Zeit entweder den 1D-Impuls p = mu (u << c) oder −p hat und die Zeit
(1) Δτ = Δy⁄u = Δy∙m⁄p
für einen Weg braucht."?
"Nun beschleunigt das Raumfahrzeug im x-Richtung auf die 1D-Geschwindigkeit v, von der wir nicht annehmen, dass v << c ist. Im Ruhesystem des Raumfahrzeugs braucht der Gleiter nach wie vor Δτ, in deinem jedoch
(2) Δt = γ∙Δτ := Δτ/√{1 − (v⁄c)²}"?
"Jetzt kommt die Reihenentwicklung ins Spiel: Es gibt für ein x << 1 die Näherungen
(3.1) 1/(1 ± x) ≈ 1 ∓ x
(3.2) √{1 ± x} ≈ 1 ± ½x." warum?