Distributivität Z_m?
Sei Addition auf Z_m +\ und entsprechend *\, herrkömmliche Addition und Mul. im folgenden als + und *
a*\(b +\ c) = (a*\b) +\ (a*\c)
Ist zwar keine Aufgabe und im Internet steht teilweise (schlampig) Addition und Multiplikation auf Z_m seien distributiv (die Formulierung ist seltsam ich weiß), weil es eben die herrkömmlichen Verknüpfungen auf Z auch sind...
Anscheinend erhält man das aus
a*b mod m = ((a mod m) * (b mod m)) mod m und
(a+b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m
Hab probiert
a*\(b +\ c) mit diesen zwei Modulo-Regeln umzuformen, scheitere dann aber mitten drin weil etwas derart auftaucht wie:
((a mod m) * (((b mod m + c mod m) mod m) mod m)) mod m, wobei sich das fettgedruckte mod m streichen lässt, das ändert nix.
((a mod m) * ((b mod m + c mod m) mod m)) mod m
Jetzt stört mich das fettgedruckte mod m noch.. Irgendwie müsste ich es jetzt hinkriegen a*b mod m usw. draus zu machen, damit das Distributivgesetz sichtbar wird...
2 Antworten
Ich schreibe statt *\ und +\ einfach * und +
- (a + b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m
- (a * b) mod m = ((a mod m) * (b mod m)) mod m
Rechtsdistributivität:
((a + b) * c) mod m = (a * c + b * c) mod m
= (((a * c) mod m) + ((b * c) mod m)) mod m
= (((a mod m) * (c mod m)) + ((b mod m) * (c mod m))) mod m
= ((a mod m) * (c mod m) + (b mod m) * (c mod m)) mod m
Das war zu zeigen.
(In der zweiten Zeile wurde die erste Identität oben benutzt, in der dritten die zweite. In der letzten kam das Assoziativgesetz zur Anwendung.)
Für die Linksdistributivität zeigt man es analalog - kannst du zur Übung ja mal machen. Daraus folgt gesamt das Distributivgesetz in Z_m.
Es genügt zu zeigen das a( b+c)- ab -durch m teilbar. (Es ist sogar 0) Beweis Ende.
Warum normal kein Beweis: Das ganze macht man normalerweise allgemein. R/I ist ein Ring mit den entsprechenden Operationen .