Differentialrechnung matheaufgabe?
Hallo meine frage ist ob mir jemand helfen kann die aufgabe zu lösen.
Aufgabe:
Ein oben offener zylindrischer Behälter soll aus Zinkblech hergestellt werden und ein Volumen von 360 Liter aufweisen. welche abmessungen muss der Behälter haben, wenn der Materialverbrauch minimal sein soll?
Leider war ich lange krank und habe viel nach zuhollen und würde jetzt gerne wissen wie man da jetzt anfängt die Hautbedingung und NB zu bilden?
4 Antworten
360l = 360dm³
V = π * r² * h
360 = π * r² * h | :π :r²
h = (360/π)/r²
O = 2 * π * r² + 2 * π * r * h
O(r) = 2 * π * r² + 2 * π * r * (360/π)/r²
Jetzt musst du nur noch das Minimum der Funktion berechnen.
Nebenbedingung:
pi*r²*h=360
Hauptbedingung:
Oberfläche soll maximal werden, da der Materialverbrauch gering werden soll. Die obere Kreisfläche lassen wir aus, da der Zylinder oben offen ist.
--->O(r,h)=pi*r²+2*pi*r*h
Damit können wir aber nicht viel anfangen ; wir stellen die Nebenbedingung deshalb nach einer Variablen, hier h, um:
h=360/(pi*r²)
und setzen dies in O(r,h) ein:
O(r)=pi*r² + (2*pi*r*360)/(pi*r²)
Kommst du jetzt alleine weiter?
Hauptbedingung ist die gesuchte Oberfläche
1. O=Ag+AM=r^2*pi + 2*r*pi * h
Nebenbedingung ist das Volumen
2. V=Ag * h=r^2*pi *h ergibt h=V/(r^2*pi)
in 1. O=r^2 *pi+ 2*r *pi *V/(r^2 *pi)= r^2 *pi + 2 * V/r
Wir haben nun O(r) als Funktion von r also nur eine normale Funktion f(x)=...
Der Rest ist nur noch eine einfache Kurvendiskussion
abgeleitet O´(r)=2 *r * pi - 2 * V/r^2 mit V=360 l=360000 cm^3 und multipliziert mit r^2 ergibt
0=2*pi * r^3 - 2 *V =2 *pi * r^3 - 720000 cm^3 Nullstelle bei x=48,572 ..cm
h= V/(r^2 * pi)=360000/(48,572^2 * pi)= 48,571 cm mit Rundungsfehler !
Hauptbedingung:
O(r, h) = pi*r² + h*pi*r (zu minimieren)
Nebenbedingung:
V(r, h) = h*r²*pi = 360 dm³