Frage von steven1202, 42

Differentialrechnung mathe aufgabe?

Hallo meine frage ist ob mir jemand helfen kann die aufgabe zu lösen.

Aufgabe:

Ein oben offener zylindrischer Behälter soll aus Zinkblech hergestellt werden und ein Volumen von 360 Liter aufweisen. welche abmessungen muss der Behälter haben, wenn der Materialverbrauch minimal sein soll?

Leider war ich lange krank und habe viel nach zuhollen und würde jetzt gerne wissen wie man da jetzt anfängt die Hautbedingung und NB zu bilden?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 15

Hallo,

es handelt sich hier um eine sogenannte Extremwertaufgabe.

Dazu stellst Du eine sogenannte Zielfunktion auf, bei der eine Variable so gewählt werden soll, daß der Funktionswert minimal (bei dieser Aufgabe) oder maximal wird. 

Die Zielfunktion ergibt sich aus der Formel für die Oberfläche eines Zylinders ohne Deckel, sprich: Boden und Mantel.

Der Boden ist eine Kreisfläche, also π*r² (r=Radius des Zylinders).

Die Mantelfläche ist das Produkt aus dem Umfang des Zylinders und seiner Höhe, also 2πr*h

Zielfunktion f(r;h)=πr²+2πrh

Das Dumme ist, daß Du es hier mit zwei Variablen zu tun hast, mit dem Radius r und der Höhe h. Irgendeine Kombination dieser beiden führt bei gleichem Volumen zu minimaler Oberfläche.

Zum Glück gibt es noch die Nebenbedingung, das gegebene Volumen des Zylinders von 360 Liter gleich 360 dm³.

Die Formel für das Volumen ist die Bodenfläche mal die Höhe:

V=πr²*h=360 dm³

Wenn wir diese Gleichung nach h auflösen:

h=360/(πr²) und diesen Ausdruck in die Zielfunktion einsetzen, haben wir es nur noch mit einer Variablen, nämlich r, zu tun:

f(r)=πr²+2πr*360/(πr²)

Hier kannst Du kürzen:

f(r)=πr²+720/r

Um zu wissen, wann diese Funktion minimal wird, setzt Du die Ableitung auf Null:

f'(r)=2πr-720/r²=0 |*r²

2πr³-720=0

2πr³=720

r³=720/(2π)=360/π

r=³√(360/π)=4,86 dm=48,6 cm

Wenn wir dies in die Gleichung für ha einsetzen, bekommen wir auch die Höhe heraus:

h=360/(πr²)=360/(π*4,86²)=4,85

Da ich bei r gerundet habe, genauer Wert: 4,857180126 dm, kommt für die Höhe nicht genau dasselbe Ergebnis wie für den Radius heraus.

Setzt Du den genauen (genaueren) Wert für r in die Gleichung ein, bekommst Du für h auch 4,857180126 dm heraus.

Der Zylinder ist also doppelt so breit wie hoch (Durchmesser gleich doppelter Radius)

Weil wir das Volumen in dm³ eingesetzt hatten, bekommen wir als Werte für r und h auch dm heraus.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von steven1202 ,

überweltigende antwort danke jetzt hab ich das thema verstanden :D  (y)

Antwort
von fjf100, 2

Hauptbedingung ist die gesuchte Oberfläche

 1. O=Ag+AM=r^2*pi + 2*r*pi * h

Nebenbedingung ist das Volumen 

2. V=Ag * h=r^2*pi *h ergibt h=V/(r^2*pi)

in 1. O=r^2 *pi+ 2*r *pi *V/(r^2 *pi)= r^2 *pi + 2 * V/r

Wir haben nun O(r) als Funktion von r also nur eine normale Funktion f(x)=...

Der Rest ist nur noch eine einfache Kurvendiskussion

abgeleitet O´(r)=2 *r * pi - 2 * V/r^2 mit V=360 l=360000 cm^3 und multipliziert mit r^2 ergibt

0=2*pi * r^3 - 2 *V =2 *pi * r^3 - 720000 cm^3 Nullstelle bei x=48,572 ..cm

h= V/(r^2 * pi)=360000/(48,572^2 * pi)= 48,571 cm mit Rundungsfehler !

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 8

Nebenbedingung:

pi*r²*h=360


Hauptbedingung:

Oberfläche soll maximal werden, da der Materialverbrauch gering werden soll. Die obere Kreisfläche lassen wir aus, da der Zylinder oben offen ist.

--->O(r,h)=pi*r²+2*pi*r*h


Damit können wir aber nicht viel anfangen ; wir stellen die Nebenbedingung deshalb nach einer Variablen, hier h, um:

h=360/(pi*r²)

und setzen dies in O(r,h) ein:


O(r)=pi*r² + (2*pi*r*360)/(pi*r²)



Kommst du jetzt alleine weiter?




Antwort
von Mikkey, 10

Hauptbedingung:

O(r, h) = pi*r² + h*pi*r (zu minimieren)

Nebenbedingung:

V(r, h) = h*r²*pi = 360 dm³

Antwort
von Blvck, 10

360l = 360dm³

V = π * r² * h

360 = π * r² * h | :π :r²

h = (360/π)/r²

O = 2 * π * r² + 2 * π * r * h

O(r) = 2 * π * r² + 2 * π * r * (360/π)/r²

Jetzt musst du nur noch das Minimum der Funktion berechnen.

Kommentar von Blvck ,

*O(r) = π * r² + 2 * π * r * (360/π)/r² Hab das oben offen überlesen

Kommentar von steven1202 ,

danke

Kommentar von Blvck ,

bitte

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