Frage von LucyannaS, 38

Kann mit jemand bei Extremalproblem helfen -> Aufgabe mit einem Container?

Ich muss eine Aufgabe mit einem Container machen: Aufgabenstellung: Für eine Kleidersammlung soll ein quaderförmiger Container aus b Blech entwickelt werden. Folgende Forderungen müssen erfüllt werden: 1. Fassungsvermögen: 2 Kubikmeter 2. Der Behälter soll doppelt so lang wie breit sein. 3.Oben soll der Behälter nur zur Hälfte offen sein. Wie groß ist der Materialverbrauch mindestens? Welche Maße enthält der Container in diesem optimalen Fall=

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 14

Hallo,

die Breite nennst Du x, dann ist die Länge 2x - der Container soll ja doppelt so lang wie hoch sein. Die dritte Dimension ist die Höhe h.

Die Nebenbedingung ergibt sich aus der Angabe des Volumens: 2 m³.

Das Volumen eines Quaders errechnet sich nach Länge * Breite * Höhe,
in diesem Fall also 2x*x*h=2x²*h

2x²*h=2

h=2/(2x²)=1/x²

So hast Du die Unbekannte h durch x ausgedrückt und damit eine von zwei Unbekannten eliminiert.

Nun brauchst Du die Formel für die Oberfläche des Containers. 

Er besteht aus dem Boden: 2x², aus Vorder- und Rückseite: jeweils 2x*h,

aus den beiden Seitenflächen: jeweils x*h, und dem Deckel, der nur halb so groß wie der Boden sein soll: x²

Die Oberfläche ist die Summe dieser Flächen:

2x²+2*2x*h+2*x*h+x²

Das kannst Du zusammenfassen zu 3x²+6x*h

Da wir aus der Nebenbedingung wissen, daß h=1/x², können wir h ersetzen:

Oberfläche =3x²+6x*1/x²

Unsere Zielfunktion, zu der der minimale Wert gesucht wird, lautet also:

f(x)=3x²+6/x

Um das Minimum zu finden, brauchen wir die Ableitung. Diese wird gleich Null gesetzt:

f'(x)=6x-6/x²=0

Alles mal x²:

6x³-6=0

6x³=6

x³=1

x=1

Das ist auch schon die Antwort: Den wenigsten Blechverbrauch hast Du, wenn Du einen Container mit den Maßen 2 m * 1m * 1m baust. Du verbrauchst in diesem Fall 3*1²+6/1=9 m² Blech.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Pretan4, 22

Ich muss eine Aufgabe mit einem Container machen:

Aufgabenstellung: Für eine Kleidersammlung soll ein quaderförmiger Container aus b Blech entwickelt werden.

Folgende Forderungen müssen erfüllt werden:

1:Fassungsvermögen: 2 Kubikmeter

2. Der Behälter soll doppelt so lang wie
breit sein.

3.Oben soll der Behälter nur zur Hälfte offen sein. Wie groß
ist der Materialverbrauch mindestens?

Welche Maße enthält der Containerin diesem optimalen Fall?


Absätze schaden nie !  ;D

(und schreib auch, dass die antwort in m² willst, auf den Materialverbrauch kann man nicht schließen, da die Wandbreiten und die Dichten nicht angegeben sind)

Kommentar von Pretan4 ,

Fang damit an : stelle Gleichungen für die b-blech Fläche und das Volumen  in Abhängigkeit von Höhe,Breite und Länge auf.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 10

V=a b h

und a=2b

also V=2b • b • h = 2 m³   (nach h umstellen)

Material = 2•h•(a+b) + G + 1/2 G

also Material = 2h(2b+b) + 2b² + 1/2 • 2b²

h ersetzen und Material ableiten, = 0 setzen , usw

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