Die Punkte A(2/3/-6), B(5/7/-3)&C(2/1(0) haben alle den gleichen Abstand zur Ebene E: 2x 1 +3X 2 - 6X 3 = 28.Geben Sie alle Punkte an, die diesen Abstand haben?
Guten Abend,
Könnte mir jemand erläutern, wie ich den Abstand berechne? Weil wenn ich eine Lotgerade aufstelle, komme ich auf kein t... Und Wie berechne ich Punkte mit einem bestimmten Abstand zur Ebene?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe
2 Antworten
A, B und C haben alle den gleichen Abstand zur Ebene E. Definiere eine Ebene aus A, B und C. Diese ist dann parallel zur Ebene E und umfasst alle Punkte mit dem gleichen Abstand zu E.
Am einfachsten mit Abstandsformel Punkt-Ebene d=d(P,E)=|(p-a)*no|
Betrag |....|
a(ax/ay/az) Stützpunkt (Stützvektor) der Ebene
no(nox/noy/noz) Normaleneinheitsvektor
p(px/py/pz) ist der gegebene Punkt außerhalb der Ebene
Koordinatengleichung der Ebene E: a*x+b*y+c*z+d=0
Normalenvektor n(a/b/c)
bei dir 2*x+3*y-6*z=28
Normalenvektor n(2/3/-6)
Betrag |n|=Wurzel(2²+3²+(-6)²)=7
Normaleneinheitsvektor no=nx/|n|+ny/|n|+nz/|nz|
no=2/7+3/7-6/7
no((2/7)/(3/7)/(-6/7))
nun einen beliebigen Stützpunkt ermitteln
wir setzen z=1 und y=2
2*x+3*2-6*1=28
2*x+6-6=28
2*x=28
x=28/2=14
A(14/2/1) → a(14/2/1)
d=| (2/3/-6)-(14/2/1)]*(2/7)/(3/7)/(-6/7)] |
nun ausmultiplizieren mit dem Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz
Den Rest schaffst du selber.
2.Möglichkeit mit dem Lotfußpunktverfahren
1) Normalenvektor ist n(2/3/-6) das ist der Richtungsvektor der Lotgeraden
2) Stützpunkt der Lotgeraden ist A(2/3/-6) → a(2/3/-6)
Geradengleichung g: x=(2/3/-6)+r*(2/3/-6)
3) eingsetzen in die Ebenengleichung ergibt dann umgestellt nach r=... den Schnittpunkt (Fußpunkt) mit der Ebene
x-Richtung: x=2+r*2
y-Richtung: y=3+r*3
z-Richtung: z=-6+r*(-6)
2*(2+r*2)+3*(3+r*3)-6*(-6+r*(-6)=28 ergibt r=....
Abstand von 2 Punkten im Raum
Betrag |d|=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
1) Abstand d ist bekannt
2) Stützpunkt der Ebene ist bekannt
3) Normaleneinheitsvektor no(nox/noy/noz) ist bekannt
d=|[(x/y/z)-(ax/ay/az)]*(nox/noy/noz) |
oder über die Dreipunktgleichung der Ebene
E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)
A(2/3/-6) → a(2/3/-6) und B(5/7/-3) → b(5/7/-3) und C(2/1/0) → c(2/1/0)
Hinweis:Da A und B und C den gleichen Abstand zur Ebene haben,muß ja auch die Ebene,die durch diese 3 Punkte geht auch den selben Abstand haben.
Hier liegen somit 2 Ebenen parallel zueinander und zwar mit den Abstand d=..
Bedingung parallele Ebenen
1) Die Normalenvektoren sind kollinear (liegen parallel zueinander)
n1(n1x/n1y/n1z)*e=n2(n2x/n2y/n2z) sind linear abhängig
2) Der Normalenvektor einer Ebene ist orthogonal (rechtwinklig) zu beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene
andere Ebene ist in Vektorielle Parameterform
E: x=a+r*u+s*v
u=b-a Richtungsvektor
v=c-a Richtungsvektor
1) ux*nx+uy*ny+uz*nz=0
2) vx*nx+vy*ny+vz*nz=0
Man kann auch den Normalenvektor n(nx/ny/nz) in die beiden Richtungsvektoren u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz) direkt umwandeln
Schau mal in deinen Unterlagen nach:Umwandlung von der Koordinatenform der Ebene in die Vektorielle Parametergleichung der Ebene
Formeln :gegeben n(nx/ny/nz)
uz=0 gesetzt
ux=ny
uy=-nx
u(-nx/ny/0)
vx=0 gesetzt
vy=nz
vz=-ny
v(0/nz/-ny)
bei dir nx=2 und ny=3 und nz=-6
u(3/-3/0)
v(0/-6/-3)
E: x=a+r*(3/-3/0)+s*(0/-6/-3)
rechne das mal nach
Und wenn ich jetzt den Abstand habe, Wie finde ich andere Punkte mit diesem Abstand? Vielen Dank schonmal für Ihre ausführliche und sehr hilfreiche Antwort!