Der Stunden und Minutenzeiger einer Uhr stehen um 12 Uhr mittags exakt übereinander. In jeder weiteren Stunde wiederholt sich das Übereinanderstehen der Zeiger?
Ich komme einfach nicht drauf. Könnt ihr mir helfen?
Der Stunden und Minutenzeiger einer Uhr stehen um 12 Uhr mittags exakt übereinander. In jeder weiteren Stunde wiederholt sich das Übereinanderstehen der Zeiger. Ermitteln Sie rechnerisch die weiteren Zeitpunkte des "Treffen" von Stunden- und MInutenzeiger.
7 Antworten
Ein Zeiger, der in der Zeit T eine Umdrehung durchführt, führt in der Zeit t eben t/T Umdrehungen durch.
Der Stundenzeiger (T=1h) dreht sich um den Faktor 1/12 schneller als der Stundenzeiger.
Damit die zwei Zeiger nach der Zeit t das erste mal übereinanderstehen, muss also die Bedingung
gelten.
Somit ist
also
T=12h/11 = 1h 5,454545... min
Das ist wieder für Schnellschießer und Punktesammler.
Es gibt 2 Lösungsansätze:
- Es handelt sich um die 'alte Bahnhofsuhr, die einen Minutensprung durchführt
- Es handelt sich um die 'neuere Bahnhofsuhr', bei welcher der Minutenzeiger kontinuierlich transportiert wird. Hier greift die mathematische Berechnung - wie bereits versucht.
Im ersten Fall gibt es die Lösung: Nur 3 mal innerhalb eines Tages (0, 12, 0 Uhr). Oder 2 mal, genau genommen: 0, 12 Uhr. Sonst gibt es zu keiner Zeit eine Deckung.
Beweis:
0 Uhr 0 - Minutenzeiger 0 Grad - Stundenzeiger 0 Grad
1 Uhr 5 - Minutenzeiger 30 Grad - Stundenzeiger 32,5 Grad
2 Uhr 10 - Minutenzeiger 60 Grad - Stundenzeiger 65 Grad
3 Uhr 15 - Minutenzeiger 90 Grad - Stundenzeiger 97,5 Grad
usw.
Siggy hat es schon gut getroffen, ich versuche es mal etwas formaler.
Der Zeigerstand eines Zeigers lässt sich über den von Siggy angedachten Winkel a (von 12-Uhr-Stand gemessen) beschreiben, einfacher erscheint mir jedoch die Position der Zeigerspitze s anzugeben.
Ausgehend von einer konstanten Geschwindigkeit der Zeiger ist diese gegeben durch:
s = sin(wt)*U
Mit dem Umfang der Uhr U. Die Winkelgeschwindigkeit w ist für die Zeiger jeweils unterschiedlich aber leicht ersichtlich:
w = 2*pi/(60s) für den Minutenzeiger
w = 2*pi/(3600s) für den Stundenzeiger.
Damit beide Zeiger an der gleichen Stelle stehen müssen die beiden Positionen nun identisch sein, also:
s1 = s2
Mit den jeweiligen w eingesetzt. Das Ergebnis nach t umstellen und die Periodizität des Arcussinus beachten und schon ist die Aufgabe ganz formal gelöst.
Es ist nicht üblich, dass man Hausaufgaben einfach löst! Etwas Arbeit sollte für dich auch noch bleiben.
Teile das Ziffernblatt der Uhr (360 Grad) durch die Anzahl der Stunden (12). Das ist der Teil, der der Minutenzeiger nach jeder Stunde zusätzlich zurücklegen muß, um wider deckungsgleich zu sein. Dafür wird auch Zeit benötigt. Addiere diese zu der Zeit der Stunde (also 60 Minuten) und du hast das Ergebnis.
Der Stundenzeiger bleibt aber nicht am Stundenstrich x stehen, um auf den Minutenzeiger zu warten, bis der die zusätzlichen x zwölftel Vollkreise zurückgelegt hat. Er wandert schön weiter, und so wird der Weg des Minutenzeigers, bis er ihn einholt, noch ein Stück länger.
und dann wirst du feststellen, das bei Minutensprung keine Deckung möglich ist
Eine sehr gute und sehr vertrackte Aufgabe!
Sobald man über formlose back-of-the-envelope-Überlegungen hinausgeht, und endlich eine Gleichung aufstellen will, sieht man sich gezwungen, die Periodizität durch eine trigonometrische Funktion in die Formulierung einzupflanzen, wie Halswirbelstrom und Astrobiophys es zeigen.
Selbst das Computeralgebrasystem Maxima scheint nicht ans Ziel zu kommen, wenn man die Periodizität auf direktem Wege durch den Divisionsrest darstellt (auf den man in Maxima etwas unelegant zugreift)...
(%i13) solve(t = second(divide(12*t,12)), t);
(%o13) [t = 0]
...sondern nur unter Zuhilfenahme der Trigonometrie...
(%i3) to_poly_solve(cos(t)=cos(12*t), t);
(%o3) %union([t = -(2*%pi*%z1)/11],[t = (2*%pi*%z2)/13])
...und findet dabei nicht nur die uns nun schon bekannte Lösung mit 11-teln, sondern gleich auch noch eine mit 13-teln, denn die Zeiger könnten ja auch gegenläufig rotieren. (Wer kommt auf sowas?!)
Mich beunruhigt und ärgert das. Die Trigonometrie erweitert den Ort des Geschehens um eine zweite Dimension. Man könnte auch gleich komplexe Zahlen nehmen. Ist das bei periodischen Vorgängen unvermeidlich? Sind sie auf einer eindimensionalen Zeitachse nicht lösbar, und ihrem Wesen nach zweidimensional, so wie das runde Uhrzifferblatt...?
Eigentlich sehe ich die Notwendigkeit trigonometrischer Funktionen hier nicht ...
Es geht ja um die Periodizität, und nicht um die x/y Koordinaten der Zeiger. Für die Periodizität braucht man aber keinen sin/cos.
Das Thema ist aber schon ziemlich zu Ende diskutiert, deshalb wollte ich das zuerst auch nicht sagen ;-)
Du hast Recht, man braucht keinen sin/cos und keine Winkelvariable. Man muß aber halt neben der Zeit einen Parameter einführen, der die elf Begegnungsorte der Zeiger auf dem Zifferblatt durchzählt. Deine Lösung enthält diesen Parameter in Gestalt des Spezialfalls 1. Um alle Lösungen zu bekommen, braucht man nur diese 1 durch ein n zu abstrahieren. Das war es, wobei ich zunächst auf dem Schlauch stand.
und welche sind die Zeiten?