Frage von Vit4Cjoda, 45

Denkfehler Mathematik Kugelkoordinaten, Entfernung von zwei Punkten?

Ich stehe vor einem Problem. Es gilt ja auf der Kugel ist die kürzeste Entfernung von zwei Punkten ein Großkreis, den man mit U=2pir* (alpha/360°) beschreibt, und für alpha den Innenwinkel angibt. jetzt habe ich eine Aufgabe, bei der man zeigen soll, dass eine Verbindung von zwei Punkten, die über einen Breitenkreis (nicht Äquator) verläuft länger ist, als die Großkreisverbindung dazwischen, habe aber ein unerwartetes Ergebnis. (Verbindung über Breitenkreis ist kürzer als mit Großkreis)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ProfFrink, 42

Die Sache ist sogar ganz einfach. Die rote Bogenlinie beschreibt den Großkreis. Der Winkel alpha wird im Kugelmittelpunkt definiert. Der Radius R ist der Radius der Kugel.

Die blaue Bogenlinie ist die Bogenlinie des Breitenkreises. Hier findet man einen kleineren Radius r vor. Ein möglicher Denkfehler könnte darin stecken, dass man glauben möchte, dass der aufspannende Winkel hier auch gleich alpha ist. Ist er aber nicht. Wenn die gleichen beiden Punkte verbunden werden sollen, dann spannt sich in der Mittellinien ein anderer größerer Winkel beta auf, der aber in diesem Zusammenhang nicht berechnet werden soll.

Nun sieht man schon auf den ersten Blick dass die blaue Linie länger ist als die rote Linie, einfach weil sie krümmer ist und das wiederum weil der Radius kürzer ist.

Wie kurz das verät uns die Seitenansicht dieser Szene. Es gilt die einfache Beziehunge r = R*sin (theta).   Es gilt die Aussage: r < R  ausser am Äquator.

Kommentar von Vit4Cjoda ,

Soweit war ich auch; Dass Breitenkreise nicht den Kugelradius (R) haben außer der Äquator, und daher der Radius des Breitenkreises kleiner ist. wenn ich aber die Strecke berechnen muss, die man zurück legen muss um auf dem Breitengrad von dem einen zum anderen Punkt zu kommen, muss ich neben r auch noch den (wie ich vermutet hatte kleineren) Winkel alpha zur Berechnung des Teilkreises zwischen den Punkten wissen?! Danke trotzdem schon einmal für die fachliche Antwort. 

Hast du die Bilder selbst erstellt? Wenn ja welches Programm hast du verwendet, wenn ich fragen darf?

Antwort
von Simoris, 44

Hast du alles auf Rechenfehler geprüft? Deine Erwartungen sind nämich richtig...

Ansonsten brauchen wir genauere Daten, um den Fehler finde zu können :D

Kommentar von Vit4Cjoda ,

Hab eigentlich alles geprüft, prüfe noch einmal, gut, dass ich zumindest nicht in der Annahme falsch liege :D Graphisch habe ich es auch schon dargestellt und die Erwartung erfüllt kann also eigentlich echt nur an Rechenfehlern liegen

Kommentar von Vit4Cjoda ,

ich habe mit dem Gleichen Innenwinkel  für den Teil-Großkreis und Teil-Breitengrad gerechnet. Also ist es logisch, dass die Entfernung auf dem Breitengrad kürzer war. Ich weiß aber nicht, wie sich der Innenwinkel verändert. was muss ich anders machen?

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