Frage von gf20109, 242

n Punkte auf einem Kreis. Wie viele Schnittpunkte gibt es?

hallo! Ich habe eine Kombinatorik Aufgabe und ich komme gerade nicht ganz weiter. Ich glaube ich habe schon eine kleines Verständnisproblem. Jedenfalls bin ich mir sehr unsicher. Die aufgabe lautet:

Auf einem Kreis liegen n Punkte und jeder Punkt ist mit jedem anderen verbunden. Es seien die Punkte so angeordnet, dass sich niemals mehr als zwei dieser Verbindungsstrecken in einem Punkt schneiden. Wie viele Schnittpunkte gibt es?

mein ansatz : also die idee wäre, dass ein punkt 2 verbindungen(2k),1(k) oder keine (0*k)verbindung haben kann. dann müsste man die wahrscheinllichkeit der punkte ohne verbindung oder nur einer verbindung irgwie rausfinden.(schnittpkt). die punkte sind unterscheibar.geordnet u one zurücklegen. punkt ist n und die verbindung angenommen k.

aber ob es richtig ist u wie ich es noch zu einer formel zusammen verbinde weiß ich nicht.

wäre für jede hilfe dankbar!!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 142

Hallo,

zumindest habe ich eine Formel für die Anzahl der Diagonalen bei n Punkten, also für die Anzahl aller Linien, die nicht zwei benachbarte Punkte verbinden. Sie lautet (n/2)*(n-3) für n>2.

Wenn Du die Zahl der Linien m nennst, habe ich die Vermutung, daß sich die Schnittpunkte nach der Folge 1+2+3+...+(m-2), also nach der Summenformel (m/2)*(m-1) für m>0 berechnen lassen, denn bei zwei Linien gibt es einen Schnittpunkt, bei drei Linien drei, bei vier sechs usw. m Linien können m-1 Linien schneiden. Da es sich um Abschnitte von Geraden handelt, können sich zwei Linien nur jeweils einmal schneiden.

So gibt es bei einem Fünfeck (5/2)*(5-3)=5 Diagonalen,
die (5/2)*(5-1)=10 Schnittpunkte haben können.

Aber vielleicht weiß es jemand besser.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von FataMorgana2010, 139

Mit Wahrscheinlichkeiten hat das gar nichts zu tun, es ist ja jeder Punkt mit jedem verbunden. Das heißt zunächst einmal, dass von jedem Punkt n-1 Gerade ausgehen. 

Ich nummeriere meine Punkte im Uhrzeigersinn durch. 

Jetzt versuche ich das mal mit meinem ersten Punkt 1. Die erste Gerade, die von ihm ausgeht, verbindet ihn mit dem  Punkt 2. Diese Gerade hat keinen Schnittpunkt - denn zwischen 1 und 2 liegt kein weiterer Punkt. DIe nächste Gerade verbindet Punkt 1 und Punkt 3. Dazwischen liegt Punkt 2. Von diesem Punkt gehen n-1 Geraden aus - davon schneiden 2 Geraden die Verbindung von 1 und 3 nicht (das sind die, die 1 und 2 bzw. 2  und 3 verbinden. Die verbleibenden n-3 Geraden ergeben Schnittpunkte innerhalb des Kreises, müssen also gezählt werden. 

Jetzt die Gerade, die 1 und 4 verbindet. Dazwischen liegen 2 Punkte (2 und 3). Von jedem dieser Punkte gehen n-1 Geraden aus. Davon schneiden jeweils 3 Geraden die Verbindung nicht - bleiben n-4 Geraden. Davon gibt es zwei Bündel, jeweils von 2 und 3. Also: 

1* (n-3)

2 * (n-4)

usw. 

Wenn ich das für alle n Punkte aufsummiere, dann bekomme ich etwa (vorne steht 1/2, weil ich jede Gerade zweimal gezählt habe)

1/2 * n * Summe (i = 2 bis n) über (i-2) * (n-i)

Kommentar von FataMorgana2010 ,

http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=204 wird ein ähnliches Problem verhandelt. Nur so ähnlich, aber die Überlegungen sind gleich, ein Teil "meiner" Formel kommt da auch vor. 

Antwort
von Roderic, 97

Geh das ganze Rekursiv an:

Beginne mit

  1. n=1 --> 0 Punkte
  2. n=2 --> 0 Punkte
  3. n=3 --> 0 Punkte
  4. n=4 --> 1 Punkte
  5. n=5 --> ab hier wirds interessant.
                 Wieviel Punkte kommen dazu?
                 4 wenns ich richtig gesehen habe.
  6. n=6 --> Wieviel Punkte kommen dazu?
                9 wenns ich richtig gesehen habe.
  7. Mist mehr als 16, wäre auch zu schön, um wahr zu sein.

Aber du siehst - wo ich hin will ;-)

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 122

Das Problem ist, dass unendlich viele Punkte auf einem Kreis liegen, die sich nur infinitesimal von einander unterscheiden können.

Selbst die Unterteilung in 3 verschiedene Mengen ändert an dieser Unendlichkeit nichts.

Die Frage nach der Anzahl der kombinatorischen Möglichkeiten macht deshalb keinen Sinn.

Was schon eher einen Sinn machen würde, wäre zu fragen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein zufällig ausgewählter, auf dem Kreis liegender Punkt zu einer der 3 verschiedenen Mengen gehört.

Wenn du also keine Zusatzbedingungen stellst, die die Anzahl der Punkte auf eine Anzahl reduziert, die nicht unendlich ist, dann macht deine Kombinatorikaufgabe keinen Sinn.

Kommentar von lks72 ,

n soll eine fixe Zahl sein, zum Beispiel 7 . Die Frage ist nun, wie viele Schnittpunkte es zwischen all den geraden gibt, die durch jeweils 2 der 7 Punkte gehen

Kommentar von DepravedGirl ,

Ok, dann habe ich es wohl falsch verstanden.

Kommentar von gf20109 ,

achso...also nicht die punkte schneiden sich, sondern die kanten der punkte. und von jedem punkt können max 2 kanten ausgehen. richtig?

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Nein, so verstehe ich das nicht. Jeder Punkt ist ja mit jedem anderen verbunden. Es geht nur darum, dass nicht die Schnittpunkte auf den Abschnitten zusammenfallen. Das könnte ja passieren - und dann wäre das Zählen schwierig. 

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