Das globale Maximum einer Funktion existiert nicht , wenn x gegen +- ∞ zu f(x) gegen + ∞ führt. Warum , wenn ja?
oder muß man sagen : Globales Extremum geht gegen..... ?
3 Antworten
Wenn f von ein abgeschlossenes Intervall [a;b] auf ℝ abbildet und auf [a;b] stetig, hat f in diesem Intervall ein globales Maximum und Minimum (Insbesondere sind die Stellen, für die f(x) global maximal bzw. global minimal ist, Elemente des Definitionsbereiches.
Siehe auch hier.
Definitionsgemäß können "x=∞" und "x= -∞" keine globalen Extremstellen sein, denn diese müssen, wie oben angegeben, im Intervall [a;b] liegen, insbesondere also reelle Zahlen sein.
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Im Fall, dass f von ganz ℝ auf ℝ abbildet, ist die Existenz von globalen Extremwerten nicht mehr gegeben; denn die Definitionsmenge ℝ ist kein abgeschlossenes Intervall.
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Wenn f(x) gegen unendlich geht, gibt es für jedes feste x0 und somit feste f(x0) einen größeren Funktionswert. Dies widerspricht der Definition eines möglichen Maximums.
Ernsthafte Frage? Es gehe f(x) gegen unendlich für x gegen unendlich. Annahme: es existiert ein globales Maximum bei x0. Dies bedeutet f(x) <= f(x0) für alle x. f(x) gegen unendlich für x gegen unendlich bedeutet: für alle y existiert ein x1 mit f(x1) > y. Setze nun y=f(x0) und du hast einen Widerspruch.
Was genau ist denn der Grund für die Frage?