Beweis der Stetigkeit durch Vorhandensein der Differenzierbarkeit?
Für meine Seminararbeit möchte ich unter anderem den Hintergrund der Differentialrechnung erklären und gehe daher auch auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen ein.
Nun habe ich in einem Mathebuch eine Formel gefunden, die als Beweis der Stetigkeit gilt, insofern jene Funktion schon differenzierbar ist.
So wie ich den Beweis verstehe nimmt man einen allgemein gültigen Zusammenhang f(x) = f(x) - f(x_0) + f(x_0)
und formt diesen so um, dass in der Gleichung nun der Differenzialquotient (also der Grenzwert des Differenzenquotient) vorzufinden ist.
Denn eine Funktion ist ja differenzierbar, wenn beim Differenzialquotient für jeden x-Wert ein eindeutiger Grenzwert ermittelt werden kann.
Aber reicht das schon als Beweis? Reicht es, wenn man einfach einen allgemein gültigen Zusammenhang so umformt, dass die Bedingung für die Differenzierbarkeit vorzufinden ist und jene Gleichung dann zuletzt auf die Definition der Stetigkeit auflöst?
Ich versteh nicht ganz inwiefern das schon als Beweis gelten soll, da man doch eigentlich theoretisch immer zu jeder Gleichung einfach die Definition der Differenzierbarkeit * 0 hinzufügen könnte.
1 Antwort
Wenn f‘(x_0) = a an der Stelle x_0 existiert, dann ist
lim (f(x_0 + h) - f(x_0))/h = a,
also
lim(f(x_0 + h) - f(x_0)) = a * lim h = 0,
f ist also an der Stelle x_0 stetig.